Вариант 1 Самостоятельная работа № 8 (K § 21-23) 1. В треугольнике АВС ДА:∠B:∠C=2:5:3. Какая из сто- рон треугольника наименьшая? 2 Две стороны равнобедренного треугольника равны 6 см и 13 см. Найдите третью сторону треугольника. 3. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведены высоты АК и СМ, ВМ = 8 см (рисунок). Найдите ВК. 4. В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ рав- на 54 см, угол А равен 45°. Найдите расстояние от точ- ки С до прямой АВ. 5. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена биссектриса АК. Докажите, что расстояние от точки К до прямой АВ равно отрезку СК.

Вариант 1

Задача 1:

В треугольнике ABC ∠A : ∠B : ∠C = 2 : 5 : 3. Какая из сторон треугольника наименьшая?

Решение:

Сумма углов треугольника равна 180°. Пусть коэффициент пропорциональности равен x, тогда:

2x + 5x + 3x = 180°

10x = 180°

x = 18°

∠A = 2 * 18° = 36°

∠B = 5 * 18° = 90°

∠C = 3 * 18° = 54°

Наименьший угол ∠A = 36°, следовательно, наименьшая сторона лежит напротив этого угла, то есть сторона BC.

Так как ∠B = 90°, то AC - гипотенуза, следовательно, она наибольшая. ∠C = 54°, значит сторона AB лежит напротив этого угла.

Сторона AB - наименьшая.

Задача 2:

Две стороны равнобедренного треугольника равны 6 см и 13 см. Найдите третью сторону треугольника.

Решение:

В равнобедренном треугольнике две стороны равны. Рассмотрим два случая:

• Если боковые стороны равны 6 см, то основание тоже 6 см. Но тогда треугольник со сторонами 6, 6 и 13 см не существует, так как 6 + 6 < 13 (сумма двух сторон должна быть больше третьей).
• Если боковые стороны равны 13 см, то основание может быть 6 см, и такой треугольник существует (13 + 13 > 6).

Следовательно, третья сторона равна 13 см.

Задача 3:

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведены высоты AK и CM, BM = 8 см (рисунок). Найдите BK.

Решение:

Так как треугольник ABC равнобедренный, то AB = BC.

BC = BM + MC

По свойству высот в равнобедренном треугольнике, BM = AK и AK = MC.

Тогда BC = BM + AK = BM + BM = 2 * BM = 2 * 8 см = 16 см.

BK = BC - CK = 16 см - 8 см = 8 см.

Задача 4:

В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB равна 54 см, угол A равен 45°. Найдите расстояние от точки C до прямой AB.

Решение:

Пусть CH - высота, проведенная к гипотенузе AB. Так как угол A равен 45°, то угол B тоже равен 45° (90° - 45° = 45°). Следовательно, треугольник ABC равнобедренный (AC = BC).

Тогда высота CH является и медианой, то есть AH = HB = AB / 2 = 54 см / 2 = 27 см.

В прямоугольном треугольнике ACH угол A равен 45°, значит, угол ACH тоже равен 45°, следовательно, треугольник ACH равнобедренный (AH = CH).

CH = AH = 27 см.

Задача 5:

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена биссектриса AK. Докажите, что расстояние от точки K до прямой AB равно отрезку CK.

Решение:

Пусть KD - перпендикуляр, опущенный из точки K на AB. Нужно доказать, что KD = CK.

Рассмотрим треугольники ACK и ADK.

• ∠C = ∠ADK = 90°
• AK - общая сторона
• ∠CAK = ∠DAK (так как AK - биссектриса)

Следовательно, треугольники ACK и ADK равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников следует, что CK = DK.

Что и требовалось доказать.