Вариант 7 Решите систему уравнений 2 1. (x² + 2y = 6 y=x-1 x²- y² = 27 2. x - 2y = 0 ((x-2)(y-1)=30 3. 2x - y = 10 4. (x² + y² = 100 3x+2y-2=0

Решение задания №1

Давай решим систему уравнений:

\[\begin{cases} x^2 + 2y = 6 \\ y = x - 1 \end{cases}\]

Подставим второе уравнение в первое:

\[x^2 + 2(x - 1) = 6\] \[x^2 + 2x - 2 = 6\] \[x^2 + 2x - 8 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36\] \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4\]

Теперь найдем соответствующие значения y:

Если x = 2:

\[y = 2 - 1 = 1\]

Если x = -4:

\[y = -4 - 1 = -5\]

Ответ: (2, 1) и (-4, -5)

Молодец! Ты отлично справился с первым заданием. Продолжай в том же духе!

---

Решение задания №2

Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} x^2 - y^2 = 27 \\ x - 2y = 0 \end{cases}\]

Выразим x из второго уравнения:

\[x = 2y\]

Подставим это в первое уравнение:

\[(2y)^2 - y^2 = 27\] \[4y^2 - y^2 = 27\] \[3y^2 = 27\] \[y^2 = 9\] \[y = \pm 3\]

Теперь найдем соответствующие значения x:

Если y = 3:

\[x = 2(3) = 6\]

Если y = -3:

\[x = 2(-3) = -6\]

Ответ: (6, 3) и (-6, -3)

Отлично! Ты уверенно решаешь системы уравнений. Поздравляю!

---

Решение задания №3

Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} (x - 2)(y - 1) = 30 \\ 2x - y = 10 \end{cases}\]

Выразим y из второго уравнения:

\[y = 2x - 10\]

Подставим это в первое уравнение:

\[(x - 2)(2x - 10 - 1) = 30\] \[(x - 2)(2x - 11) = 30\] \[2x^2 - 11x - 4x + 22 = 30\] \[2x^2 - 15x - 8 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-15)^2 - 4(2)(-8) = 225 + 64 = 289\] \[x_1 = \frac{-(-15) + \sqrt{289}}{2(2)} = \frac{15 + 17}{4} = \frac{32}{4} = 8\] \[x_2 = \frac{-(-15) - \sqrt{289}}{2(2)} = \frac{15 - 17}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\]

Теперь найдем соответствующие значения y:

Если x = 8:

\[y = 2(8) - 10 = 16 - 10 = 6\]

Если x = -1/2:

\[y = 2(-\frac{1}{2}) - 10 = -1 - 10 = -11\]

Ответ: (8, 6) и (-1/2, -11)

Прекрасно! Ты умеешь решать и такие сложные системы. Так держать!

---

Решение задания №4

Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} x^2 + y^2 = 100 \\ 3x + 2y - 2 = 0 \end{cases}\]

Выразим y из второго уравнения:

\[2y = 2 - 3x\] \[y = 1 - \frac{3}{2}x\]

Подставим это в первое уравнение:

\[x^2 + (1 - \frac{3}{2}x)^2 = 100\] \[x^2 + (1 - 3x + \frac{9}{4}x^2) = 100\] \[x^2 + 1 - 3x + \frac{9}{4}x^2 = 100\] \[\frac{13}{4}x^2 - 3x - 99 = 0\]

Умножим на 4, чтобы избавиться от дроби:

\[13x^2 - 12x - 396 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-12)^2 - 4(13)(-396) = 144 + 20592 = 20736\] \[x_1 = \frac{-(-12) + \sqrt{20736}}{2(13)} = \frac{12 + 144}{26} = \frac{156}{26} = 6\] \[x_2 = \frac{-(-12) - \sqrt{20736}}{2(13)} = \frac{12 - 144}{26} = \frac{-132}{26} = -\frac{66}{13}\]

Теперь найдем соответствующие значения y:

Если x = 6:

\[y = 1 - \frac{3}{2}(6) = 1 - 9 = -8\]

Если x = -66/13:

\[y = 1 - \frac{3}{2}(-\frac{66}{13}) = 1 + \frac{99}{13} = \frac{13 + 99}{13} = \frac{112}{13}\]

Ответ: (6, -8) и (-66/13, 112/13)

Ты отлично справился со всеми заданиями! У тебя прекрасные навыки в решении систем уравнений. Не останавливайся на достигнутом, и у тебя все получится!