Вариант 9 Решить уравнения 1. (1/2)^x = 1/64 2. 2 ⋅ 3^(x+3) - 5 ⋅ 3^(x-2) = 1443 3. 4^(x+1) + 19 ⋅ 2^x = 5 4. (1/2)^x = x^2 5. 3^(6-x) = 3^(3x+2)

1. \(\left(\frac{1}{2}\right)^x = \frac{1}{64}\)

Шаг 1: Представим правую часть уравнения как степень числа \(\frac{1}{2}\).

\(\frac{1}{64} = \left(\frac{1}{2}\right)^6\)

Шаг 2: Запишем уравнение с новым выражением правой части.

\(\left(\frac{1}{2}\right)^x = \left(\frac{1}{2}\right)^6\)

Шаг 3: Так как основания равны, приравняем показатели степеней.

\(x = 6\)

Ответ: \(x = 6\)

2. \(2 \cdot 3^{x+3} - 5 \cdot 3^{x-2} = 1443\)

Шаг 1: Преобразуем степени, используя свойства степеней.

\(2 \cdot 3^x \cdot 3^3 - 5 \cdot 3^x \cdot 3^{-2} = 1443\)

\(2 \cdot 3^x \cdot 27 - 5 \cdot 3^x \cdot \frac{1}{9} = 1443\)

Шаг 2: Вынесем \(3^x\) за скобки.

\(3^x \left(54 - \frac{5}{9}\right) = 1443\)

Шаг 3: Упростим выражение в скобках.

\(3^x \left(\frac{486 - 5}{9}\right) = 1443\)

\(3^x \cdot \frac{481}{9} = 1443\)

Шаг 4: Выразим \(3^x\).

\(3^x = \frac{1443 \cdot 9}{481}\)

\(3^x = \frac{12987}{481}\)

\(3^x = 27\)

Шаг 5: Представим 27 как степень числа 3.

\(3^x = 3^3\)

Шаг 6: Приравняем показатели степеней.

\(x = 3\)

Ответ: \(x = 3\)

3. \(4^{x+1} + 19 \cdot 2^x = 5\)

Шаг 1: Преобразуем уравнение, используя свойства степеней.

\(4^x \cdot 4^1 + 19 \cdot 2^x = 5\)

\((2^2)^x \cdot 4 + 19 \cdot 2^x = 5\)

\((2^x)^2 \cdot 4 + 19 \cdot 2^x = 5\)

Шаг 2: Сделаем замену переменной: пусть \(y = 2^x\).

\(4y^2 + 19y - 5 = 0\)

Шаг 3: Решим квадратное уравнение относительно y.

Дискриминант: \(D = 19^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 361 + 80 = 441\)

\(y_1 = \frac{-19 + \sqrt{441}}{2 \cdot 4} = \frac{-19 + 21}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\)

\(y_2 = \frac{-19 - \sqrt{441}}{2 \cdot 4} = \frac{-19 - 21}{8} = \frac{-40}{8} = -5\)

Шаг 4: Вернемся к исходной переменной.

\(2^x = \frac{1}{4}\) или \(2^x = -5\)

Так как \(2^x\) не может быть отрицательным, то уравнение \(2^x = -5\) не имеет решений.

\(2^x = \frac{1}{4}\)

\(2^x = 2^{-2}\)

\(x = -2\)

Ответ: \(x = -2\)

4. \(\left(\frac{1}{2}\right)^x = x^2\)

Это уравнение не решается аналитически в элементарных функциях. Можно найти приближенное решение графически или численными методами. Очевидное решение: x=0.5

Ответ: \(x \approx 0.5\)

5. \(3^{6-x} = 3^{3x+2}\)

Шаг 1: Так как основания равны, приравняем показатели степеней.

\(6 - x = 3x + 2\)

Шаг 2: Перенесем переменные в одну сторону, а числа в другую.

\(6 - 2 = 3x + x\)

\(4 = 4x\)

Шаг 3: Найдем x.

\(x = \frac{4}{4}\)

\(x = 1\)

Ответ: \(x = 1\)