Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
2 вариант. 1. Решить биквадратное уравнения: a) a25a²-144 г) 9а - 602+1=0 2. Решить дробно-рациональные уравнения: 3x+4 a) x²-16 x²-16' 6)+-=2. 382 x-5 x 3. Аквариум с прямоугольным дном занимает на столе площадь, равную 465 см2. Ширина дна аквариума на 16 см меньше длины. Найдите ширину и длину дна аквариума. 3 вариант. 3 вариант. 1. Решить биквадратное уравнения: a) u² + 16 = 1742 r) 25z4 = 5022 - 25 2. Решить дробно рациональные уравнения: 5x+14 x²-4 a) = x2 x²-4 ; б) 8 x-3 10 = 2. x 3. 24. Чему равна высота параллелограмма площадью 192 см², если она на 4 см меньше стороны параллелограмма, к которой проведена?
Ответ:
Привет! Давай разберем эти задания по математике. Не переживай, вместе мы справимся со всем!
2 вариант
1. Решить биквадратное уравнение:
а) \( a^4 = 25a^2 - 144 \)
Для начала, перенесем все члены уравнения в левую часть:
\( a^4 - 25a^2 + 144 = 0 \)
Введем замену переменной: \( t = a^2 \), тогда уравнение примет вид:
\( t^2 - 25t + 144 = 0 \)
Теперь решим квадратное уравнение относительно \( t \). Найдем дискриминант:
\( D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 625 - 576 = 49 \)
Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:
\( t_1 = \frac{25 + \sqrt{49}}{2} = \frac{25 + 7}{2} = \frac{32}{2} = 16 \)
\( t_2 = \frac{25 - \sqrt{49}}{2} = \frac{25 - 7}{2} = \frac{18}{2} = 9 \)
Теперь найдем значения \( a \), используя замену \( t = a^2 \):
\( a^2 = 16 \) => \( a_1 = 4 \), \( a_2 = -4 \)
\( a^2 = 9 \) => \( a_3 = 3 \), \( a_4 = -3 \)
Ответ: \( a_1 = 4, a_2 = -4, a_3 = 3, a_4 = -3 \)
г) \( 9a^4 - 6a^2 + 1 = 0 \)
Введем замену переменной: \( t = a^2 \), тогда уравнение примет вид:
\( 9t^2 - 6t + 1 = 0 \)
Это квадратное уравнение можно заметить как полный квадрат:
\( (3t - 1)^2 = 0 \)
Отсюда, \( 3t - 1 = 0 \)
\( t = \frac{1}{3} \)
Теперь найдем значения \( a \), используя замену \( t = a^2 \):
\( a^2 = \frac{1}{3} \)
\( a = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \)
Ответ: \( a_1 = \frac{\sqrt{3}}{3}, a_2 = -\frac{\sqrt{3}}{3} \)
2. Решить дробно-рациональные уравнения:
a) \( \frac{3x + 4}{x^2 - 16} = \frac{x^2}{x^2 - 16} \)
Так как знаменатели одинаковые, можно приравнять числители:
\( 3x + 4 = x^2 \)
Перенесем все члены в правую часть:
\( x^2 - 3x - 4 = 0 \)
Найдем дискриминант:
\( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \)
Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:
\( x_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
\( x_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)
Проверим корни на допустимые значения. Знаменатель \( x^2 - 16 \) не должен быть равен нулю:
\( x^2 - 16
eq 0 \)
eq 0 \)
\( x
eq \pm 4 \)
eq \pm 4 \)
Поэтому, \( x_1 = 4 \) не является решением.
Ответ: \( x = -1 \)
б) \( \frac{3}{x-5} + \frac{8}{x} = 2 \)
Приведем дроби к общему знаменателю:
\( \frac{3x + 8(x-5)}{x(x-5)} = 2 \)
\( \frac{3x + 8x - 40}{x^2 - 5x} = 2 \)
\( \frac{11x - 40}{x^2 - 5x} = 2 \)
\( 11x - 40 = 2(x^2 - 5x) \)
\( 11x - 40 = 2x^2 - 10x \)
Перенесем все члены в правую часть:
\( 2x^2 - 21x + 40 = 0 \)
Найдем дискриминант:
\( D = (-21)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 40 = 441 - 320 = 121 \)
Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:
\( x_1 = \frac{21 + \sqrt{121}}{4} = \frac{21 + 11}{4} = \frac{32}{4} = 8 \)
\( x_2 = \frac{21 - \sqrt{121}}{4} = \frac{21 - 11}{4} = \frac{10}{4} = 2.5 \)
Проверим корни на допустимые значения. Знаменатель \( x(x-5) \) не должен быть равен нулю:
\( x
eq 0, x
eq 5 \)
eq 0, x
eq 5 \)
Оба корня удовлетворяют условию.
Ответ: \( x_1 = 8, x_2 = 2.5 \)
3. Аквариум с прямоугольным дном...
Пусть длина аквариума равна \( L \), а ширина равна \( W \). Из условия задачи известно, что:
Площадь дна аквариума: \( L \times W = 465 \) см²
Ширина на 16 см меньше длины: \( W = L - 16 \)
Подставим второе уравнение в первое:
\( L \times (L - 16) = 465 \)
\( L^2 - 16L - 465 = 0 \)
Решим квадратное уравнение относительно \( L \). Найдем дискриминант:
\( D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-465) = 256 + 1860 = 2116 \)
Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:
\( L_1 = \frac{16 + \sqrt{2116}}{2} = \frac{16 + 46}{2} = \frac{62}{2} = 31 \)
\( L_2 = \frac{16 - \sqrt{2116}}{2} = \frac{16 - 46}{2} = \frac{-30}{2} = -15 \)
Так как длина не может быть отрицательной, выбираем положительный корень:
\( L = 31 \) см
Теперь найдем ширину:
\( W = L - 16 = 31 - 16 = 15 \) см
Ответ: Длина аквариума: 31 см, ширина аквариума: 15 см.
3 вариант
1. Решить биквадратное уравнение:
а) \( u^4 + 16 = 17u^2 \)
Перенесем все члены в левую часть:
\( u^4 - 17u^2 + 16 = 0 \)
Введем замену переменной: \( t = u^2 \), тогда уравнение примет вид:
\( t^2 - 17t + 16 = 0 \)
Найдем дискриминант:
\( D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 289 - 64 = 225 \)
Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:
\( t_1 = \frac{17 + \sqrt{225}}{2} = \frac{17 + 15}{2} = \frac{32}{2} = 16 \)
\( t_2 = \frac{17 - \sqrt{225}}{2} = \frac{17 - 15}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
Теперь найдем значения \( u \), используя замену \( t = u^2 \):
\( u^2 = 16 \) => \( u_1 = 4 \), \( u_2 = -4 \)
\( u^2 = 1 \) => \( u_3 = 1 \), \( u_4 = -1 \)
Ответ: \( u_1 = 4, u_2 = -4, u_3 = 1, u_4 = -1 \)
г) \( 25z^4 = 50z^2 - 25 \)
Перенесем все члены в левую часть:
\( 25z^4 - 50z^2 + 25 = 0 \)
Разделим обе части на 25:
\( z^4 - 2z^2 + 1 = 0 \)
Введем замену переменной: \( t = z^2 \), тогда уравнение примет вид:
\( t^2 - 2t + 1 = 0 \)
Это квадратное уравнение можно заметить как полный квадрат:
\( (t - 1)^2 = 0 \)
Отсюда, \( t - 1 = 0 \)
\( t = 1 \)
Теперь найдем значения \( z \), используя замену \( t = z^2 \):
\( z^2 = 1 \)
\( z = \pm 1 \)
Ответ: \( z_1 = 1, z_2 = -1 \)
2. Решить дробно рациональные уравнения:
a) \( \frac{5x+14}{x^2-4} = \frac{x^2}{x^2-4} \)
Так как знаменатели одинаковые, приравняем числители:
\( 5x + 14 = x^2 \)
Перенесем все члены в правую часть:
\( x^2 - 5x - 14 = 0 \)
Найдем дискриминант:
\( D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 \)
Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:
\( x_1 = \frac{5 + \sqrt{81}}{2} = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7 \)
\( x_2 = \frac{5 - \sqrt{81}}{2} = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \)
Проверим корни на допустимые значения. Знаменатель \( x^2 - 4 \) не должен быть равен нулю:
\( x^2 - 4
eq 0 \)
eq 0 \)
\( x
eq \pm 2 \)
eq \pm 2 \)
Поэтому, \( x_2 = -2 \) не является решением.
Ответ: \( x = 7 \)
б) \( \frac{8}{x-3} - \frac{10}{x} = 2 \)
Приведем дроби к общему знаменателю:
\( \frac{8x - 10(x-3)}{x(x-3)} = 2 \)
\( \frac{8x - 10x + 30}{x^2 - 3x} = 2 \)
\( \frac{-2x + 30}{x^2 - 3x} = 2 \)
\( -2x + 30 = 2(x^2 - 3x) \)
\( -2x + 30 = 2x^2 - 6x \)
Перенесем все члены в правую часть:
\( 2x^2 - 4x - 30 = 0 \)
Разделим обе части на 2:
\( x^2 - 2x - 15 = 0 \)
Найдем дискриминант:
\( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 \)
Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:
\( x_1 = \frac{2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)
\( x_2 = \frac{2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)
Проверим корни на допустимые значения. Знаменатель \( x(x-3) \) не должен быть равен нулю:
\( x
eq 0, x
eq 3 \)
eq 0, x
eq 3 \)
Оба корня удовлетворяют условию.
Ответ: \( x_1 = 5, x_2 = -3 \)
3. 24. Чему равна высота параллелограмма...
Пусть высота параллелограмма равна \( h \), а сторона, к которой проведена высота, равна \( a \). Из условия задачи известно, что:
Площадь параллелограмма: \( A = a \times h = 192 \) см²
Высота на 4 см меньше стороны: \( h = a - 4 \)
Подставим второе уравнение в первое:
\( a \times (a - 4) = 192 \)
\( a^2 - 4a - 192 = 0 \)
Решим квадратное уравнение относительно \( a \). Найдем дискриминант:
\( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192) = 16 + 768 = 784 \)
Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:
\( a_1 = \frac{4 + \sqrt{784}}{2} = \frac{4 + 28}{2} = \frac{32}{2} = 16 \)
\( a_2 = \frac{4 - \sqrt{784}}{2} = \frac{4 - 28}{2} = \frac{-24}{2} = -12 \)
Так как длина стороны не может быть отрицательной, выбираем положительный корень:
\( a = 16 \) см
Теперь найдем высоту:
\( h = a - 4 = 16 - 4 = 12 \) см
Ответ: Высота параллелограмма: 12 см.
Ответ: (смотри решения выше)
Ты просто супер! У тебя все отлично получается. Продолжай в том же духе, и ты сможешь решить любые задачи!
