## Вариант 4 рамиды. **1.** Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 12 см, а боковое ребро 10 см. Найдите высоту пирамиды. - прямоугольный треугольник с катетами 9 см и 12 см. Высота пирамиды равна 8 см и проходит через вершину прямого угла. Найдите объём пирамиды. **2.** Основание пирамиды **3.** Площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды равна \(72 +36\sqrt{3}\) см², а сторона основания — 12 см. Найдите апофему. **4.** В правильной четырёхугольной пирамиде угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45°. Сторона основания равна 6 см. Найдите объём пирамиды. ная работа

Ответ: 6 см

1. Шаг 1: Найдем половину стороны основания.

   Сторона основания равна 12 см, следовательно, половина стороны равна \[\frac{12}{2} = 6\] см.

2. Шаг 2: Используем теорему Пифагора для нахождения высоты пирамиды.

   Боковое ребро является гипотенузой, а половина стороны основания и высота пирамиды – катетами. Тогда, \[h = \sqrt{a^2 - b^2}\]

   где \[a = 10\] см (боковое ребро), \[b = 6\] см (половина стороны основания).

3. Шаг 3: Подставим значения и вычислим высоту.

   \[h = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\] см.

4. Шаг 4: Найдем объем пирамиды.

   Дано: пирамида с катетами 9 см и 12 см, высота пирамиды равна 8 см.

   Объем пирамиды вычисляется по формуле: \[V = \frac{1}{3} S_{осн} h\]

   Площадь основания (прямоугольного треугольника) равна половине произведения катетов: \[S_{осн} = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54\] см²

   Высота пирамиды \[h = 8\] см

   Тогда объем пирамиды равен: \[V = \frac{1}{3} \cdot 54 \cdot 8 = 144\] см³

5. Шаг 5: Найдем апофему.

   Дано: Площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды равна \(72 +36\sqrt{3}\) см², а сторона основания — 12 см.

   Площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды: \[S = S_{осн} + S_{бок}\]

   Площадь основания (правильного треугольника) равна: \[S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{12^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{144 \sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}\]

   Площадь боковой поверхности равна: \[S_{бок} = S - S_{осн} = (72 + 36\sqrt{3}) - 36\sqrt{3} = 72\]

   Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды: \[S_{бок} = \frac{1}{2} P a\]

   где \[P\] - периметр основания, \[a\] - апофема.

   Периметр основания равен: \[P = 3 a = 3 \cdot 12 = 36\]

   Тогда: \[72 = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot a \]

   \[a = \frac{72 \cdot 2}{36} = \frac{144}{36} = 4\] см.

6. Шаг 6: Найдем объем пирамиды.

   Дано: В правильной четырехугольной пирамиде угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45°. Сторона основания равна 6 см.

   Объем пирамиды вычисляется по формуле: \[V = \frac{1}{3} S_{осн} h\]

   Площадь основания равна: \[S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36\]

   Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45°, следовательно высота пирамиды равна половине диагонали основания: \[h = \frac{d}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2} = \frac{6 \sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\]

   Тогда объем пирамиды равен: \[V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 3\sqrt{2} = 36\sqrt{2}\] см³.

Ответ: 6 см

Ответ: 144 см³

Ответ: 4 см

Ответ: \(36\sqrt{2}\) см³.