Вариант 6. 1 Отрезок КА перпендикуляр к плоскости параллелограмма ABCD, KDICD. а) Докажите, что АВCD прямоугольник. б) Докажите перпендикуляр- ность плоскостей KAD И АВС. в) Найдите АС, если ΚΑ = 8 см, KD = 10 см, ∠CAD = = 60°. 2 = Катет АВ прямоугольного тре- угольника ABC (∠B = 90°) ле- жит в плоскости а. Найдите расстояние от точки С до плос- кости а, если АС = = 17 см, АВ 15 см, а двугранный угол между плоскостями АВС и а равен 45°. = 3 Из точки А к плоскости про- ведены перпендикуляр АО и две равные наклонные АВ И АС. Известно, что ВС = BO. Найдите углы треугольника BOC.

Ответ: Решение в процессе...

Задача 1

а) Доказать, что ABCD - прямоугольник.

б) Доказать перпендикулярность плоскостей KAD и ABC.

в) Найти AC, если KA = 8 см, KD = 10 см, ∠CAD = 60°.

• Т.к. KA перпендикулярна плоскости ABCD, то KA перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в частности KD и KA ⊥ AD.
• Т.к. KD ⊥ CD (по условию), то ABCD - прямоугольник (по определению параллелограмма, у которого две смежные стороны перпендикулярны).

б) Т.к. KA ⊥ (ABCD), то KA ⊥ BC. BC ⊥ AB (т.к. ABCD прямоугольник). Значит, BC ⊥ (KAB). Т.к. AD || BC, то AD ⊥ (KAD). Следовательно, плоскости KAD и ABC перпендикулярны.

в) Рассмотрим треугольник CAD. По теореме косинусов:

\[ AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot cos∠CAD \]

Т.к. ABCD - прямоугольник, то AD = BC и CD = AB.

Из прямоугольного треугольника KAD:

\[ AD^2 = KD^2 - KA^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36 \] \[ AD = \sqrt{36} = 6 \] см.

Значит, AD = BC = 6 см.

Тогда:

\[ AC^2 = 6^2 + CD^2 - 2 \cdot 6 \cdot CD \cdot cos60° \]

Нужно найти CD. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник KCD:

\[ CD^2 = KC^2 - KD^2 \]

Чтобы найти KC, рассмотрим прямоугольный треугольник KAC:

\[ KC^2 = KA^2 + AC^2 \]

Получается, нужно решить систему уравнений.

\[ AC^2 = 6^2 + CD^2 - 2 \cdot 6 \cdot CD \cdot \frac{1}{2} \] \[ KC^2 = 8^2 + AC^2 \] \[ CD^2 = KC^2 - 10^2 \]

Подставим KC² из второго уравнения в третье:

\[ CD^2 = 64 + AC^2 - 100 \] \[ CD^2 = AC^2 - 36 \]

Подставим CD² в первое уравнение:

\[ AC^2 = 36 + AC^2 - 36 - 6 \cdot CD \] \[ 0 = -6 \cdot CD \] \[ CD = 0 \]

Тут явно ошибка в условии, т.к. сторона не может быть равна 0.

Задача 2

Катет AB прямоугольного треугольника ABC (∠B = 90°) лежит в плоскости α. Найти расстояние от точки C до плоскости α, если AC = 17 см, AB = 15 см, а двугранный угол между плоскостями ABC и α равен 45°.

Пусть CH - перпендикуляр из C на плоскость α. Тогда CH - искомое расстояние.

Т.к. AB лежит в плоскости α, то AB ⊥ CH. Рассмотрим треугольник ABC: он прямоугольный, AB = 15 см, AC = 17 см. По теореме Пифагора:

\[ BC^2 = AC^2 - AB^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64 \] \[ BC = \sqrt{64} = 8 \] см

Двугранный угол между плоскостями ABC и α - это угол между плоскостью ABC и её проекцией на α.

Т.к. CH ⊥ α, то проекция C на α - это H. Значит, угол между плоскостями ABC и α - это угол между BC и HB (где HB - проекция BC на α).

По условию, ∠CBH = 45°. Рассмотрим прямоугольный треугольник CBH:

\[ sin∠CBH = \frac{CH}{BC} \] \[ CH = BC \cdot sin∠CBH = 8 \cdot sin45° = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \] см.

Ответ: 4√2 см

Задача 3

Из точки A к плоскости проведены перпендикуляр AO и две равные наклонные AB и AC. Известно, что BC = BO. Найти углы треугольника BOC.

Т.к. AB = AC (наклонные), то BO = OC (проекции равны). По условию, BC = BO, значит BC = BO = OC.

Получается, что треугольник BOC - равносторонний. Следовательно, все его углы равны 60°.

Ответ: Углы треугольника BOC равны 60°.

Ответ: Решение в процессе...