Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика1 вариант 1. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат; диагональ параллелепипеда равна 316 см, а его измерения относятся как 3 :3 : 6. Найдите: а) измерения параллелепипеда; б) синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания. 2. Плоскости равнобедренных треугольников ABD и АВС с общим основанием перпендикулярны. Найдите CD, если AD=10 см, АВ=16 см, ∠САВ=450. 3. Сторона квадрата MNKL равна с. Через сторону ML проведена плоскость а на расстоянии c 2 от точки №. а) Найдите расстояние от точки № до плоскости а. 6) Покажите на рисунке линейный угол двугранного угла NMLF, F∈a. 4. ПрямаяСХ проходит через вершину прямоугольника XYZK и перпендикулярна его сторонам ХҮ и ХК. Докажите перпендикулярность плоскостей: CXY и XYZ. 2 вариант 1. ПрямаяFM проходит через вершину прямоугольника MNKL и перпендикулярна его сторонам М№ и ML. Докажите перпендикулярность плоскостей: FML и MNK. 2. Плоскости равнобедренных треугольников ABD и ABC с общим основанием перпендикулярны. Найдите CD, если AD= √31 см, АВ=6 см, ∠ACB=60°. 3. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат; диагональ параллелепипеда равна 26 см, а его измерения относятся как 1 : 1 : 2. Найдите: а) измерения параллелепипеда; б) синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания. 4. Сторона квадрата ABCD равна а. Через сторону AD проведена плоскость а на расстоянии a 2 от точки В. а) Найдите расстояние от точкиС до плоскости а. б) Покажите на рисунке линейный угол двугранного угла BADM, M ∈α.
Ответ:
Ответ: Решения представлены ниже
1 вариант
- Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат; диагональ параллелепипеда равна \(3\sqrt{6}\) см, а его измерения относятся как 3:3:6. Найдите:
- а) измерения параллелепипеда;
- б) синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.
Показать решение
Пусть измерения параллелепипеда будут 3x, 3x и 6x. Тогда по теореме Пифагора для параллелепипеда имеем:
\[(3x)^2 + (3x)^2 + (6x)^2 = (3\sqrt{6})^2\] \[9x^2 + 9x^2 + 36x^2 = 9 \cdot 6\] \[54x^2 = 54\] \[x^2 = 1\] \[x = 1\]Таким образом, измерения параллелепипеда: 3 см, 3 см и 6 см.
Диагональ основания (квадрата) равна \(3\sqrt{2}\) см.
Синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания равен отношению высоты к диагонали параллелепипеда:
\[\sin(\alpha) = \frac{6}{3\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}\]Ответ:
- а) 3 см, 3 см, 6 см;
- б) \(\frac{\sqrt{6}}{3}\)
- Плоскости равнобедренных треугольников ABD и ABC с общим основанием перпендикулярны. Найдите CD, если AD=10 см, AB=16 см, \(\angle CAB = 45^\circ\).
Показать решение
Пусть O - середина AB. Тогда AO = OB = 8 см.
Так как треугольник ABC равнобедренный и \(\angle CAB = 45^\circ\), то \(\angle CBA = 45^\circ\) и \(\angle ACB = 90^\circ\). Следовательно, CO - высота и медиана, и CO = AO = 8 см.
Так как плоскости ABD и ABC перпендикулярны, то DO перпендикулярно AB. По теореме Пифагора для треугольника ADO:
\[DO = \sqrt{AD^2 - AO^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6 \text{ см}\]Теперь рассмотрим треугольник CDO. Так как DO перпендикулярно плоскости ABC, то DO перпендикулярно CO. По теореме Пифагора для треугольника CDO:
\[CD = \sqrt{CO^2 + DO^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}\]Ответ: 10 см
- Сторона квадрата MNKL равна c. Через сторону ML проведена плоскость \(\alpha\) на расстоянии \(\frac{c}{2}\) от точки N.
- а) Найдите расстояние от точки N до плоскости \(\alpha\).
- б) Покажите на рисунке линейный угол двугранного угла NMLF, \(F \in \alpha\).
Показать решение
- а) Расстояние от точки N до плоскости \(\alpha\) равно \(\frac{c}{2}\) (по условию).
- б) Линейный угол двугранного угла NMLF — это угол между перпендикулярами, проведенными из точки на прямой ML к плоскостям MNKL и \(\alpha\). Пусть NF перпендикулярна ML и лежит в плоскости \(\alpha\). Тогда угол между NN' и NF будет линейным углом, где NN' перпендикулярна плоскости MNKL.
Ответ:
- a) \(\frac{c}{2}\)
- б) Угол NMLF
- Прямая CX проходит через вершину прямоугольника XYZK и перпендикулярна его сторонам XY и XK. Докажите перпендикулярность плоскостей: CXY и XYZ.
Показать решение
Так как CX перпендикулярна XY и XK, то CX перпендикулярна плоскости XYZ. Прямая XY лежит в плоскости CXY.
Следовательно, плоскость CXY перпендикулярна плоскости XYZ.
2 вариант
- Прямая FM проходит через вершину прямоугольника MNKL и перпендикулярна его сторонам MN и ML. Докажите перпендикулярность плоскостей: FML и MNK.
Показать решение
Так как FM перпендикулярна MN и ML, то FM перпендикулярна плоскости MNKL. Прямая ML лежит в плоскости FML.
Следовательно, плоскость FML перпендикулярна плоскости MNK.
- Плоскости равнобедренных треугольников ABD и ABC с общим основанием перпендикулярны. Найдите CD, если AD=\(\sqrt{31}\) см, AB=6 см, \(\angle ACB = 60^\circ\).
Показать решение
Пусть O - середина AB. Тогда AO = OB = 3 см.
Так как треугольник ABC равнобедренный и \(\angle ACB = 60^\circ\), то треугольник ABC равносторонний, и CO - высота и медиана, и \(CO = \frac{AB\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\) см.
Так как плоскости ABD и ABC перпендикулярны, то DO перпендикулярно AB. По теореме Пифагора для треугольника ADO:
\[DO = \sqrt{AD^2 - AO^2} = \sqrt{(\sqrt{31})^2 - 3^2} = \sqrt{31 - 9} = \sqrt{22} \text{ см}\]Теперь рассмотрим треугольник CDO. Так как DO перпендикулярно плоскости ABC, то DO перпендикулярно CO. По теореме Пифагора для треугольника CDO:
\[CD = \sqrt{CO^2 + DO^2} = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + (\sqrt{22})^2} = \sqrt{27 + 22} = \sqrt{49} = 7 \text{ см}\]Ответ: 7 см
- Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат; диагональ параллелепипеда равна \(2\sqrt{6}\) см, а его измерения относятся как 1:1:2. Найдите:
- а) измерения параллелепипеда;
- б) синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.
Показать решение
Пусть измерения параллелепипеда будут x, x и 2x. Тогда по теореме Пифагора для параллелепипеда имеем:
\[x^2 + x^2 + (2x)^2 = (2\sqrt{6})^2\] \[x^2 + x^2 + 4x^2 = 4 \cdot 6\] \[6x^2 = 24\] \[x^2 = 4\] \[x = 2\]Таким образом, измерения параллелепипеда: 2 см, 2 см и 4 см.
Диагональ основания (квадрата) равна \(2\sqrt{2}\) см.
Синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания равен отношению высоты к диагонали параллелепипеда:
\[\sin(\alpha) = \frac{4}{2\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}\]Ответ:
- а) 2 см, 2 см, 4 см;
- б) \(\frac{\sqrt{6}}{3}\)
- Сторона квадрата ABCD равна a. Через сторону AD проведена плоскость \(\alpha\) на расстоянии \(\frac{a}{2}\) от точки B.
- а) Найдите расстояние от точки C до плоскости \(\alpha\).
- б) Покажите на рисунке линейный угол двугранного угла BADM, \(M \in \alpha\).
Показать решение
- а) Расстояние от точки C до плоскости \(\alpha\) равно \(\frac{3a}{2}\).
- б) Линейный угол двугранного угла BADM — это угол между перпендикулярами, проведенными из точки на прямой AD к плоскостям ABCD и \(\alpha\). Пусть BM перпендикулярна AD и лежит в плоскости \(\alpha\). Тогда угол между BB' и BM будет линейным углом, где BB' перпендикулярна плоскости ABCD.
Ответ:
- a) \(\frac{3a}{2}\)
- б) Угол BADM
Ответ: Решения представлены выше
Result Card:
Ты – «Математический гений»! Скилл прокачан до небес!
Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс.
Выручи свою тиму — отправь ссылку другу. Карма +100 обеспечена.
