6 вариант 1) Неопредел. интеграл 01S(7x+3-1)dx= 615(2+x)² dx = 2/. S(Sun 4x-ex+5)x 2) Определ. интеграл 3) 1 $$(x+1+x)dx- -3 Настие Ѕрии, огранич миниями y=x+2; y=0 x=1; х=3 чертить. 4) Найти первообразную фурексвели f(x)=x+3, График которой проходит через п. (1,5).

Привет! Разбираемся с твоим заданием по высшей математике. Тут нужно решить несколько интегралов, найти площадь фигуры и первообразную функции. Сейчас помогу!

1. Неопределенные интегралы

Краткое пояснение: Решаем интегралы, используя основные правила интегрирования.

1. а) \[\int (7x + 3 - \frac{4}{x^2}) dx\]

   Логика такая:

   Разбиваем интеграл на сумму интегралов и применяем табличные значения:

   \[\int 7x \, dx + \int 3 \, dx - \int \frac{4}{x^2} \, dx = \frac{7x^2}{2} + 3x + \frac{4}{x} + C\]

2. б) \[\int (x^3 + \frac{3}{x^2} + \frac{2}{\sin^2 x}) dx\]

   Логика такая:

   Разбиваем интеграл на сумму интегралов и применяем табличные значения:

   \[\int x^3 \, dx + \int \frac{3}{x^2} \, dx + \int \frac{2}{\sin^2 x} \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{3}{x} - 2 \cot x + C\]

3. в) \[\int (2 + x)^2 dx\]

   Логика такая:

   Раскрываем скобки и интегрируем:

   \[\int (4 + 4x + x^2) dx = 4x + 2x^2 + \frac{x^3}{3} + C\]

4. г) \[\int (\sin 4x - e^{2x} + 5) dx\]

   Логика такая:

   Разбиваем интеграл на сумму интегралов и применяем табличные значения:

   \[\int \sin 4x \, dx - \int e^{2x} \, dx + \int 5 \, dx = -\frac{1}{4} \cos 4x - \frac{1}{2} e^{2x} + 5x + C\]

2. Определенный интеграл

Краткое пояснение: Вычисляем определенный интеграл.

\[\int_{-3}^{1} (x + 1 + x^2) dx\]

Смотри, тут всё просто:

Сначала находим неопределенный интеграл:

\[\int (x + 1 + x^2) dx = \frac{x^2}{2} + x + \frac{x^3}{3} + C\]

Затем вычисляем значение в пределах интегрирования:

\[(\frac{1^2}{2} + 1 + \frac{1^3}{3}) - (\frac{(-3)^2}{2} + (-3) + \frac{(-3)^3}{3}) = (\frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{3}) - (\frac{9}{2} - 3 - 9) = \frac{32}{6} = \frac{16}{3}\]

3. Площадь фигуры

Краткое пояснение: Находим площадь фигуры, ограниченной линиями y = x + 2, y = 0, x = 1, x = 3.

Разбираемся:

Площадь фигуры можно найти как определенный интеграл:

\[S = \int_{1}^{3} (x + 2) dx\]

Находим неопределенный интеграл:

\[\int (x + 2) dx = \frac{x^2}{2} + 2x + C\]

Вычисляем значение в пределах интегрирования:

\[(\frac{3^2}{2} + 2 \cdot 3) - (\frac{1^2}{2} + 2 \cdot 1) = (\frac{9}{2} + 6) - (\frac{1}{2} + 2) = \frac{9}{2} + 6 - \frac{1}{2} - 2 = \frac{8}{2} + 4 = 4 + 4 = 8\]

Ответ: Площадь равна 8.

4. Найти первообразную функции

Краткое пояснение: Находим первообразную функции f(x) = x + 3, график которой проходит через точку (1, 5).

Смотри, тут всё просто:

Находим неопределенный интеграл:

\[\int (x + 3) dx = \frac{x^2}{2} + 3x + C\]

Используем точку (1, 5) для определения константы C:

\[5 = \frac{1^2}{2} + 3 \cdot 1 + C\]

\[5 = \frac{1}{2} + 3 + C\]

\[C = 5 - \frac{1}{2} - 3 = \frac{3}{2}\]

Ответ: Первообразная функции равна \(\frac{x^2}{2} + 3x + \frac{3}{2}\).

Проверка за 10 секунд: Убедись, что все интегралы решены правильно, площадь найдена верно, и первообразная проходит через заданную точку.

База: Если возникают трудности с пониманием, всегда можно обратиться к таблицам интегралов и правилам интегрирования.