1 вариант. 1. Найти интервалы возрастания и убывания функции: f(x) = x44x3 + 20 2. Найти стационарные точки функции: 2 f(x) = x3x²- x + 2 3. Найдите точку максимума функции y=(x²-10x+10)e5-x. 4. Найдите наибольшее значение функцин 3 у = х² - 18х2 + 15 на отрезке [-3;3]. 5. Построить график функции f(x) = x3 2x² + x + 3

Разберем данные задания по порядку.

Задание 1. Найти интервалы возрастания и убывания функции: $$f(x) = x^4 - 4x^3 + 20$$

1. Найдем производную функции: $$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3)$$
2. Определим критические точки (где производная равна нулю или не существует): $$4x^2(x - 3) = 0$$ $$x = 0, x = 3$$
3. Проверим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:
   • Интервал $$(-\infty; 0)$$: возьмем $$x = -1$$, тогда $$f'(-1) = 4(-1)^2(-1 - 3) = 4(-4) = -16 < 0$$. Функция убывает.
   • Интервал $$(0; 3)$$: возьмем $$x = 1$$, тогда $$f'(1) = 4(1)^2(1 - 3) = 4(-2) = -8 < 0$$. Функция убывает.
   • Интервал $$(3; +\infty)$$: возьмем $$x = 4$$, тогда $$f'(4) = 4(4)^2(4 - 3) = 4(16)(1) = 64 > 0$$. Функция возрастает.

Ответ: Функция убывает на $$(-\infty; 3)$$, возрастает на $$(3; +\infty)$$.

---

Задание 2. Найти стационарные точки функции: $$f(x) = x^3 - x^2 - x + 2$$

1. Найдем производную функции: $$f'(x) = 3x^2 - 2x - 1$$
2. Определим стационарные точки (где производная равна нулю): $$3x^2 - 2x - 1 = 0$$ $$D = (-2)^2 - 4(3)(-1) = 4 + 12 = 16$$ $$x_1 = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1$$ $$x_2 = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$

Ответ: Стационарные точки: $$x = 1, x = -\frac{1}{3}$$.

---

Задание 3. Найдите точку максимума функции $$y = (x^2 - 10x + 10)e^{5-x}$$.

1. Найдем производную функции: $$y' = (2x - 10)e^{5-x} + (x^2 - 10x + 10)e^{5-x}(-1) = e^{5-x}(2x - 10 - x^2 + 10x - 10) = e^{5-x}(-x^2 + 12x - 20)$$
2. Определим критические точки (где производная равна нулю или не существует): $$e^{5-x}(-x^2 + 12x - 20) = 0$$ Т.к. $$e^{5-x} > 0$$ всегда, то $$-x^2 + 12x - 20 = 0$$ $$x^2 - 12x + 20 = 0$$ $$D = (-12)^2 - 4(1)(20) = 144 - 80 = 64$$ $$x_1 = \frac{12 + 8}{2} = \frac{20}{2} = 10$$ $$x_2 = \frac{12 - 8}{2} = \frac{4}{2} = 2$$
3. Проверим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:
   • Интервал $$(-\infty; 2)$$: возьмем $$x = 0$$, тогда $$y'(0) = e^{5-0}(-0^2 + 12(0) - 20) = e^5(-20) < 0$$.
   • Интервал $$(2; 10)$$: возьмем $$x = 5$$, тогда $$y'(5) = e^{5-5}(-5^2 + 12(5) - 20) = 1(-25 + 60 - 20) = 15 > 0$$.
   • Интервал $$(10; +\infty)$$: возьмем $$x = 11$$, тогда $$y'(11) = e^{5-11}(-11^2 + 12(11) - 20) = e^{-6}(-121 + 132 - 20) = e^{-6}(-9) < 0$$.
   Функция возрастает на интервале $$(2; 10)$$, убывает на $$(-\infty; 2)$$ и $$(10; +\infty)$$. Следовательно, точка максимума - $$x = 10$$.

Ответ: Точка максимума: $$x = 10$$.

---

Задание 4. Найдите наибольшее значение функции $$y = x^3 - 18x^2 + 15$$ на отрезке $$[-3; 3]$$.

1. Найдем производную функции: $$y' = 3x^2 - 36x$$
2. Определим критические точки (где производная равна нулю или не существует): $$3x^2 - 36x = 0$$ $$3x(x - 12) = 0$$ $$x = 0, x = 12$$
3. Проверим, какие критические точки лежат в данном отрезке: $$x = 0$$ лежит в $$[-3; 3]$$, а $$x = 12$$ не лежит.
4. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке: $$y(-3) = (-3)^3 - 18(-3)^2 + 15 = -27 - 18(9) + 15 = -27 - 162 + 15 = -174$$ $$y(0) = (0)^3 - 18(0)^2 + 15 = 15$$ $$y(3) = (3)^3 - 18(3)^2 + 15 = 27 - 18(9) + 15 = 27 - 162 + 15 = -120$$
5. Наибольшее значение функции: $$y(0) = 15$$

Ответ: Наибольшее значение функции: 15.

---

Задание 5. Построить график функции $$f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3$$

Для построения графика функции необходимо:

• Найти область определения функции.
• Найти точки пересечения с осями координат.
• Найти интервалы возрастания и убывания.
• Найти точки экстремума.
• Вычислить значения функции в нескольких точках для построения графика.

1. Область определения: $$D(f) = \mathbb{R}$$
2. Точки пересечения с осью Y: $$f(0) = 0^3 - 2 \cdot 0^2 + 0 + 3 = 3$$. Точка (0, 3).
3. Производная функции: $$f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$$
4. Найдем критические точки (где производная равна нулю или не существует): $$3x^2 - 4x + 1 = 0$$ $$D = (-4)^2 - 4(3)(1) = 16 - 12 = 4$$ $$x_1 = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$$ $$x_2 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$
5. Значения функции в критических точках: $$f(1) = 1^3 - 2 \cdot 1^2 + 1 + 3 = 1 - 2 + 1 + 3 = 3$$ $$f(\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3})^3 - 2(\frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3} + 3 = \frac{1}{27} - \frac{2}{9} + \frac{1}{3} + 3 = \frac{1 - 6 + 9 + 81}{27} = \frac{85}{27} \approx 3.15$$
6. Интервалы возрастания и убывания: $$f'(x) = 3x^2 - 4x + 1 = 3(x - 1)(x - \frac{1}{3})$$
   • Интервал $$(-\infty; \frac{1}{3})$$: $$f'(0) = 3(0 - 1)(0 - \frac{1}{3}) = 3(-1)(-\frac{1}{3}) = 1 > 0$$ (возрастает).
   • Интервал $$(\frac{1}{3}; 1)$$: $$f'(\frac{1}{2}) = 3(\frac{1}{2} - 1)(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) = 3(-\frac{1}{2})(\frac{1}{6}) = -\frac{1}{4} < 0$$ (убывает).
   • Интервал $$(1; +\infty)$$: $$f'(2) = 3(2 - 1)(2 - \frac{1}{3}) = 3(1)(\frac{5}{3}) = 5 > 0$$ (возрастает).
   Точка $$(\frac{1}{3}; \frac{85}{27})$$ - точка максимума. Точка $$(1; 3)$$ - точка минимума.

Ответ: График функции построен с учетом анализа выше.