1 вариант 1. Найдите длину отрезка и координаты середины отрезка АВ, если известны координаты его концов А(3;-4;7) и В (1;2;-3) 2. Разложите вектор а {1; -5; 7) по координатным векторам. 3. Найдите длину вектора из задания № 2 4. Даны три точки в пространстве А, В, С. Найдите скалярное произведение векторов АВ и АС и косинус угла между этими векторами, если координаты точек известны: A (1; -2; 4), B (-3; 2; -2), C (0; -6; 2) 5. Докажите, что четырехугольник ABCD – квадрат, если вершины имеют координаты А(-3; 5; 6), B (1; -5; 7), C (8; -3; -1), D (4; 7; -2)

Решение варианта 1

1. Задача 1: Найдите длину отрезка и координаты середины отрезка AB, если известны координаты его концов A(3;-4;7) и B(1;2;-3).

   Длина отрезка AB вычисляется по формуле:

   \[ |AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]

   Подставляем координаты точек A и B:

   \[ |AB| = \sqrt{(1 - 3)^2 + (2 - (-4))^2 + (-3 - 7)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (6)^2 + (-10)^2} = \sqrt{4 + 36 + 100} = \sqrt{140} \]

   \[ |AB| = 2\sqrt{35} \]

   Координаты середины отрезка AB вычисляются по формуле:

   \[ M(\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2}; \frac{z_1 + z_2}{2}) \]

   Подставляем координаты точек A и B:

   \[ M(\frac{3 + 1}{2}; \frac{-4 + 2}{2}; \frac{7 + (-3)}{2}) = M(\frac{4}{2}; \frac{-2}{2}; \frac{4}{2}) = M(2; -1; 2) \]

   Ответ: Длина отрезка \( AB = 2\sqrt{35} \), координаты середины отрезка M(2; -1; 2).

2. Задача 2: Разложите вектор \( \vec{a} \{1; -5; 7\} \) по координатным векторам.

   Разложение вектора по координатным векторам имеет вид:

   \[ \vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k} \]

   где \( \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} \) - координатные векторы, а x, y, z - координаты вектора \( \vec{a} \).

   В данном случае:

   \[ \vec{a} = 1\vec{i} - 5\vec{j} + 7\vec{k} \]

   Ответ: \( \vec{a} = \vec{i} - 5\vec{j} + 7\vec{k} \)

3. Задача 3: Найдите длину вектора из задания № 2.

   Длина вектора \( \vec{a} \) вычисляется по формуле:

   \[ |\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]

   Подставляем координаты вектора \( \vec{a} \{1; -5; 7\} \):

   \[ |\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-5)^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 25 + 49} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \]

   Ответ: Длина вектора \( |\vec{a}| = 5\sqrt{3} \)

4. Задача 4: Даны три точки в пространстве A(1; -2; 4), B(-3; 2; -2), C(0; -6; 2). Найдите скалярное произведение векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \) и косинус угла между этими векторами.

   Находим координаты векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \):

   \[ \vec{AB} = B - A = (-3 - 1; 2 - (-2); -2 - 4) = (-4; 4; -6) \]

   \[ \vec{AC} = C - A = (0 - 1; -6 - (-2); 2 - 4) = (-1; -4; -2) \]

   Скалярное произведение векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \) вычисляется по формуле:

   \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 \]

   Подставляем координаты векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \):

   \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-4)(-1) + (4)(-4) + (-6)(-2) = 4 - 16 + 12 = 0 \]

   Косинус угла между векторами \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \) вычисляется по формуле:

   \[ cos(\alpha) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}||\vec{AC}|} \]

   Находим длины векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \):

   \[ |\vec{AB}| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + (-6)^2} = \sqrt{16 + 16 + 36} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \]

   \[ |\vec{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21} \]

   Подставляем значения в формулу для косинуса угла:

   \[ cos(\alpha) = \frac{0}{2\sqrt{17} \cdot \sqrt{21}} = 0 \]

   Ответ: Скалярное произведение \( \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0 \), косинус угла между векторами \( cos(\alpha) = 0 \).

5. Задача 5: Докажите, что четырехугольник ABCD – квадрат, если вершины имеют координаты A(-3; 5; 6), B(1; -5; 7), C(8; -3; -1), D(4; 7; -2).

   Для доказательства того, что ABCD - квадрат, нужно показать, что все его стороны равны и углы между сторонами прямые.

   Сначала найдем длины сторон четырехугольника:

   \[ |AB| = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (-5 - 5)^2 + (7 - 6)^2} = \sqrt{4^2 + (-10)^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 100 + 1} = \sqrt{117} \]

   \[ |BC| = \sqrt{(8 - 1)^2 + (-3 - (-5))^2 + (-1 - 7)^2} = \sqrt{7^2 + 2^2 + (-8)^2} = \sqrt{49 + 4 + 64} = \sqrt{117} \]

   \[ |CD| = \sqrt{(4 - 8)^2 + (7 - (-3))^2 + (-2 - (-1))^2} = \sqrt{(-4)^2 + 10^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 100 + 1} = \sqrt{117} \]

   \[ |DA| = \sqrt{(-3 - 4)^2 + (5 - 7)^2 + (6 - (-2))^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-2)^2 + 8^2} = \sqrt{49 + 4 + 64} = \sqrt{117} \]

   Все стороны равны, значит, ABCD - ромб.

   Теперь проверим, являются ли углы прямыми. Для этого найдем векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{BC} \) и проверим, равно ли их скалярное произведение нулю:

   \[ \vec{AB} = (1 - (-3); -5 - 5; 7 - 6) = (4; -10; 1) \]

   \[ \vec{BC} = (8 - 1; -3 - (-5); -1 - 7) = (7; 2; -8) \]

   \[ \vec{AB} \cdot \vec{BC} = (4)(7) + (-10)(2) + (1)(-8) = 28 - 20 - 8 = 0 \]

   Так как скалярное произведение равно нулю, углы прямые. Следовательно, ABCD - квадрат.

   Ответ: Четырехугольник ABCD – квадрат, так как все его стороны равны и углы между сторонами прямые.