Вариант 2. Контрольная работа 1. Вынесите множитель из-под знака корня: a)√36.7; 6) √52.6; 2. Внесите множитель под знак корня: a)10√3; 1 4 6) V8; 3. Упростите выражение: a) 11√5 + √500 - √180; 6) 3√2.(5√2-√32) B) (√6+√3)² r) (√3-√8). (√8+√3) 4. Сравните: а) 2√5 и 20; 6) 4√7 и 55 5. Сократите дроби: √10-√2 a-81 a) √5-1 ; 6) √a-9; 4-2√a в) 2-√a 2 - √а. 2 2 X 6. Решите уравнения: а) 80+ y² = 81; 6) x² = 225; B) √x = 13

Задание 1

Вынесите множитель из-под знака корня:

1. а) \(\sqrt{36 \cdot 7}\)

   Краткое пояснение: Извлекаем квадратный корень из 36 и выносим его за знак корня.

   \[\sqrt{36 \cdot 7} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{7} = 6\sqrt{7}\]

2. б) \(\sqrt{5^2 \cdot 6}\)

   Краткое пояснение: Извлекаем квадратный корень из 5² и выносим его за знак корня.

   \[\sqrt{5^2 \cdot 6} = \sqrt{5^2} \cdot \sqrt{6} = 5\sqrt{6}\]

3. в) \(\sqrt{18 \cdot y^3}\)

   Краткое пояснение: Раскладываем 18 на множители и извлекаем квадратные корни из известных квадратов.

   \[\sqrt{18 \cdot y^3} = \sqrt{9 \cdot 2 \cdot y^2 \cdot y} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{y^2} \cdot \sqrt{2y} = 3y\sqrt{2y}\]

Задание 2

Внесите множитель под знак корня:

1. а) \(10\sqrt{3}\)

   Краткое пояснение: Возводим 10 в квадрат и вносим под знак корня.

   \[10\sqrt{3} = \sqrt{10^2 \cdot 3} = \sqrt{100 \cdot 3} = \sqrt{300}\]

2. б) \(4\sqrt[4]{\frac{1}{8}}\)

   Краткое пояснение: Возводим 4 в четвертую степень и вносим под знак корня.

   \[4\sqrt[4]{\frac{1}{8}} = \sqrt[4]{4^4 \cdot \frac{1}{8}} = \sqrt[4]{\frac{256}{8}} = \sqrt[4]{32}\]

3. в) \(-3\sqrt{\frac{1}{6}}\)

   Краткое пояснение: Возводим -3 в квадрат и вносим под знак корня. Минус теряется, т.к. он в квадрате.

   \[-3\sqrt{\frac{1}{6}} = -\sqrt{3^2 \cdot \frac{1}{6}} = -\sqrt{\frac{9}{6}} = -\sqrt{\frac{3}{2}}\]

Задание 3

Упростите выражение:

1. а) \(11\sqrt{5} + \sqrt{500} - \sqrt{180}\)

   Краткое пояснение: Упрощаем корни, выделяя полные квадраты.

   \[11\sqrt{5} + \sqrt{500} - \sqrt{180} = 11\sqrt{5} + \sqrt{100 \cdot 5} - \sqrt{36 \cdot 5} = 11\sqrt{5} + 10\sqrt{5} - 6\sqrt{5} = (11 + 10 - 6)\sqrt{5} = 15\sqrt{5}\]

2. б) \(3\sqrt{2} \cdot (5\sqrt{2} - \sqrt{32})\)

   Краткое пояснение: Распределяем умножение и упрощаем корни.

   \[3\sqrt{2} \cdot (5\sqrt{2} - \sqrt{32}) = 3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{32} = 15 \cdot 2 - 3\sqrt{64} = 30 - 3 \cdot 8 = 30 - 24 = 6\]

3. в) \((\sqrt{6} + \sqrt{3})^2\)

   Краткое пояснение: Используем формулу квадрата суммы.

   \[(\sqrt{6} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{6})^2 + 2\sqrt{6}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 6 + 2\sqrt{18} + 3 = 9 + 2\sqrt{9 \cdot 2} = 9 + 2 \cdot 3\sqrt{2} = 9 + 6\sqrt{2}\]

4. г) \((\sqrt{3} - \sqrt{8})(\sqrt{8} + \sqrt{3})\)

   Краткое пояснение: Используем формулу разности квадратов.

   \[(\sqrt{3} - \sqrt{8})(\sqrt{8} + \sqrt{3}) = (\sqrt{3} - \sqrt{8})(\sqrt{3} + \sqrt{8}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{8})^2 = 3 - 8 = -5\]

Задание 4

Сравните:

1. а) \(2\sqrt{5}\) и \(\sqrt{20}\)

   Краткое пояснение: Вносим множитель под знак корня и сравниваем.

   \[2\sqrt{5} = \sqrt{2^2 \cdot 5} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20}\]

   Значит, \(2\sqrt{5} = \sqrt{20}\)

2. б) \(4\sqrt{7}\) и \(5\sqrt{5}\)

   Краткое пояснение: Вносим множители под знак корня и сравниваем.

   \[4\sqrt{7} = \sqrt{4^2 \cdot 7} = \sqrt{16 \cdot 7} = \sqrt{112}\]

   \[5\sqrt{5} = \sqrt{5^2 \cdot 5} = \sqrt{25 \cdot 5} = \sqrt{125}\]

   Так как \(\sqrt{112} < \sqrt{125}\), то \(4\sqrt{7} < 5\sqrt{5}\)

Задание 5

Сократите дроби:

1. а) \(\frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - 1}\)

   Краткое пояснение: Выносим \(\sqrt{2}\) в числителе за скобку и сокращаем дробь.

   \[\frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - 1} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{5} - 1)}{\sqrt{5} - 1} = \sqrt{2}\]

2. б) \(\frac{a - 81}{\sqrt{a} - 9}\)

   Краткое пояснение: Представляем числитель как разность квадратов и сокращаем дробь.

   \[\frac{a - 81}{\sqrt{a} - 9} = \frac{(\sqrt{a})^2 - 9^2}{\sqrt{a} - 9} = \frac{(\sqrt{a} - 9)(\sqrt{a} + 9)}{\sqrt{a} - 9} = \sqrt{a} + 9\]

3. в) \(\frac{4 - 2\sqrt{a}}{2 - \sqrt{a}}\)

   Краткое пояснение: Выносим 2 в числителе за скобку и сокращаем дробь.

   \[\frac{4 - 2\sqrt{a}}{2 - \sqrt{a}} = \frac{2(2 - \sqrt{a})}{2 - \sqrt{a}} = 2\]

Задание 6

Решите уравнения:

1. а) \(80 + y^2 = 81\)

   Краткое пояснение: Выражаем \(y^2\) и находим \(y\).

   \[y^2 = 81 - 80 = 1\]

   \[y = \pm \sqrt{1} = \pm 1\]

   Ответ: \(y = 1\) или \(y = -1\)

2. б) \(x^2 = 225\)

   Краткое пояснение: Извлекаем квадратный корень из обеих частей.

   \[x = \pm \sqrt{225} = \pm 15\]

   Ответ: \(x = 15\) или \(x = -15\)

3. в) \(\sqrt{x} = 13\)

   Краткое пояснение: Возводим обе части уравнения в квадрат.

   \[(\sqrt{x})^2 = 13^2\]

   \[x = 169\]

   Ответ: \(x = 169\)