Вариант 1 Контрольная работа № 4 1. На каком из рисунков изображен равнобедренный тре- угольник? 70° 100° 30° a) 45° 6) 41° 35° 80° 6) г) 2. Углы треугольника относятся как 2: 3: 4. Найдите мень- ший угол треугольника. 3. В ДАВС (рисунок) на стороне АС взята точка К, AK = BK = KC, угол АВК равен 58°. Найдите угол СВК. B A C K 4. В прямоугольном треугольнике ABC ∠C = 90°, биссек- триса АК равна 20 см, ДАКВ = 120°. Найдите расстояние от точки К до прямой АВ. 5. Дан прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ, у которого ∠B = 56°. Найдите угол между высотой СН и биссектрисой СМ.

Ответ: 6)

1. Задание 2:

Пусть углы треугольника будут 2x, 3x и 4x. Сумма углов треугольника равна 180°. Тогда:

2x + 3x + 4x = 180°

9x = 180°

x = 20°

Меньший угол: 2x = 2 * 20° = 40°

2. Задание 3:

В треугольнике АВК, АК = ВК, следовательно, он равнобедренный, и углы при основании равны.

Угол ВАК равен углу АВК и равен 58°.

Угол АКВ равен 180° - 58° - 58° = 64°.

Угол ВКС смежный с углом АКВ, поэтому ВКС = 180° - 64° = 116°.

В треугольнике ВКС, ВК = КС, следовательно, он равнобедренный, и углы при основании равны.

Угол СВК равен углу ВСК. Сумма углов треугольника ВКС равна 180°, тогда:

СВК + ВСК + ВКС = 180°

2 * СВК = 180° - 116°

2 * СВК = 64°

СВК = 32°

3. Задание 4:

В прямоугольном треугольнике ABC с углом C = 90°, AK - биссектриса угла A. ∠AKB = 120°. Необходимо найти расстояние от точки K до прямой AB.

Расстояние от точки K до прямой AB это длина перпендикуляра, опущенного из точки K на прямую AB. Пусть это будет отрезок KL, где L - точка на AB, а KL - перпендикуляр к AB.

Рассмотрим треугольник AKB. Угол AKB = 120°. Сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно, угол KAB + угол KBA = 180° - 120° = 60°.

Так как AK - биссектриса угла A, угол KAB равен половине угла CAB. Обозначим угол KAB как x, тогда угол CAB = 2x.

В прямоугольном треугольнике ABC угол CAB + угол CBA = 90° (так как угол C = 90°). Мы знаем, что угол CAB = 2x, следовательно, угол CBA = 90° - 2x.

Теперь у нас есть два выражения для суммы углов KAB и KBA: x + (90° - 2x) = 60°

Решаем уравнение: x + 90° - 2x = 60°

-x = 60° - 90°

-x = -30°

x = 30°

Таким образом, угол KAB = 30°, и угол CBA = 90° - 2 * 30° = 30°.

Рассмотрим треугольник AKL, который является прямоугольным (угол ALK = 90°). Мы знаем угол KAL = 30° и длину гипотенузы AK = 20 см. Нам нужно найти длину катета KL, который является расстоянием от точки K до прямой AB.

Используем синус угла KAL:

sin(KAL) = KL / AK

sin(30°) = KL / 20

KL = 20 * sin(30°)

Так как sin(30°) = 0.5:

KL = 20 * 0.5 = 10 см

4. Задание 5:

В прямоугольном треугольнике ABC, угол B = 56°. CH - высота, проведенная к гипотенузе AB, а CM - биссектриса угла C. Нужно найти угол между высотой CH и биссектрисой CM.

Угол C в прямоугольном треугольнике равен 90°. Так как CM - биссектриса, она делит угол C пополам, поэтому угол ACM = MCB = 45°.

Так как треугольник ABC прямоугольный и угол B = 56°, то угол A = 90° - 56° = 34°.

В прямоугольном треугольнике ACH угол A = 34°, угол AHC = 90°, следовательно, угол ACH = 90° - 34° = 56°.

Теперь мы знаем угол ACM = 45° и угол ACH = 56°. Угол между высотой CH и биссектрисой CM (угол HCM) можно найти как разность между этими углами:

Угол HCM = |ACH - ACM| = |56° - 45°| = 11°.

Ответ: 6)

Ответ: 40°

Ответ: 32°

Ответ: 10 см

Ответ: 11°