Вариант 3 К-8 (§ 11, 12) •1. Сколькими способами можно определить последовательность выступления 8 участников конкурса вокалистов? •2. Из 12 членов правления садоводческого кооператива надо выбрать председателя и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать? •3. Из 19 членов бригады, прибывшей для ремонта школы, надо выделить троих для ремонта кабинета физики. Сколькими способами это можно сделать? •4. Из 25 билетов по геометрии Андрей не успел подготовить 2 первых и 3 последних билета. Какова вероятность того, что ему достанется подготовленный билет? 5. Из 15 юношей и 12 девушек, прибывших на соревнования по биатлону, тренер должен выделить для участия в смешанной эстафете 2 юношей и 2 девушек. Сколькими способами он может это сделать? 6. На карточках записаны все возможные четырехзначные числа, составленные из цифр 1, 2, 3, 4, без повторения. Карточки перевернули и перемешали, а затем открыли одну из них. Какова вероятность того, что на этой карточке окажется четное число?

• 1.

Число способов определить последовательность выступления 8 участников — это число перестановок из 8 элементов.

Решение:

Используем формулу для перестановок:

\[P_n = n! \]

В нашем случае, n = 8, поэтому:

\[P_8 = 8! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 = 40320\]

Ответ: 40320

• 2.

Выбор председателя и заместителя из 12 членов правления — это выбор двух человек, где важен порядок (так как председатель и заместитель — разные должности).

Решение:

Используем формулу для размещений:

\[A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}\]

В нашем случае, n = 12, k = 2, поэтому:

\[A_{12}^2 = \frac{12!}{(12-2)!} = \frac{12!}{10!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10!}{10!} = 12 \cdot 11 = 132\]

Ответ: 132

• 3.

Выбор троих человек из 19 для ремонта кабинета физики — это выбор трех человек, где порядок не важен.

Решение:

Используем формулу для сочетаний:

\[C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

В нашем случае, n = 19, k = 3, поэтому:

\[C_{19}^3 = \frac{19!}{3!(19-3)!} = \frac{19!}{3!16!} = \frac{19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16!}{3! \cdot 16!} = \frac{19 \cdot 18 \cdot 17}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 19 \cdot 3 \cdot 17 = 969\]

Ответ: 969

• 4.

Находим вероятность того, что Андрею достанется подготовленный билет.

Решение:

Всего билетов: 25. Андрей не успел подготовить 2 первых и 3 последних, то есть 25 - 2 - 3 = 20 билетов он подготовил.

Вероятность того, что ему достанется подготовленный билет:

\[P = \frac{\text{Число подготовленных билетов}}{\text{Общее число билетов}} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5} = 0.8\]

Ответ: 0.8

• 5.

Нужно выбрать 2 юношей из 15 и 2 девушек из 12 для смешанной эстафеты.

Решение:

Выбор 2 юношей из 15:

\[C_{15}^2 = \frac{15!}{2!(15-2)!} = \frac{15!}{2!13!} = \frac{15 \cdot 14}{2 \cdot 1} = 15 \cdot 7 = 105\]

Выбор 2 девушек из 12:

\[C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2!10!} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = 6 \cdot 11 = 66\]

Общее число способов:

\[105 \cdot 66 = 6930\]

Ответ: 6930

• 6.

Находим вероятность того, что на карточке окажется четное число.

Решение:

Всего четырехзначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4 без повторения: 4! = 24.

Четное число может заканчиваться на 2 или 4. Рассмотрим оба случая:

• Если число заканчивается на 2, то первые три цифры можно расставить 3! способами, то есть 3! = 6.
• Если число заканчивается на 4, то первые три цифры также можно расставить 3! способами, то есть 3! = 6.

Тогда всего четных чисел: 6 + 6 = 12.

Вероятность того, что число четное:

\[P = \frac{\text{Число четных чисел}}{\text{Общее число чисел}} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} = 0.5\]

Ответ: 0.5