Вариант IV 1. В равнобедренном треугольнике CDE с основанием СЕ и LD = 102° проведена высота СН. Найдите ∠DCH. 2. В треугольнике АВС проведены биссектрисы АМ и ВМ, пересекающиеся в точке К, причем ∠AKN = 58°. Найдите ∠ACB

Давай разберем по порядку решение этих задач по геометрии.

1. Равнобедренный треугольник CDE

В равнобедренном треугольнике CDE с основанием CE, угол D равен 102 градусам, и проведена высота CH. Нужно найти угол DCH.

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, углы при основании CE равны.
2. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам.
3. Так как треугольник CDE равнобедренный, то углы при основании CE равны: \[\angle DCE = \angle DEC = \frac{180° - 102°}{2} = \frac{78°}{2} = 39°\]
4. Высота CH проведена из вершины C к основанию DE. Следовательно, угол между CH и DE равен 90 градусам: \[\angle CHD = 90°\]
5. Теперь рассмотрим треугольник DCH. В этом треугольнике мы знаем угол CDH (который равен половине угла D) и угол CHD (который равен 90 градусов). Найдем угол DCH: \[\angle DCH = 90° - \angle CDE = 90° - 39° = 51°\]

Ответ: ∠DCH = 51°

2. Треугольник ABC с биссектрисами

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AM и BN, пересекающиеся в точке K, и угол AKN равен 58 градусам. Нужно найти угол ACB.

1. Угол AKN является внешним углом для треугольника ABK. Следовательно, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: \[\angle AKN = \angle KAB + \angle KBA\]
2. Так как AM и BN — биссектрисы, то \[\angle KAB = \frac{1}{2} \angle CAB\] и \[\angle KBA = \frac{1}{2} \angle CBA\]
3. Заменим углы KAB и KBA в уравнении для угла AKN: \[58° = \frac{1}{2} \angle CAB + \frac{1}{2} \angle CBA\]
4. Умножим обе части уравнения на 2: \[116° = \angle CAB + \angle CBA\]
5. Теперь мы знаем сумму двух углов в треугольнике ABC. Найдем третий угол ACB: \[\angle ACB = 180° - (\angle CAB + \angle CBA) = 180° - 116° = 64°\]

Ответ: ∠ACB = 64°