Вариант І В треугольнике АВС проведена биссектриса BD, ∠A = = 75°, ∠C = 35°. a) Докажите, что треугольник BDC равнобедренный. б) Сравните отрезки AD и DC.

Ответ: а) доказано, б) AD < DC

а) Рассмотрим треугольник ABC:

• Сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно, ∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 75° - 35° = 70°.
• BD - биссектриса, значит, ∠ABD = ∠CBD = ∠B / 2 = 70° / 2 = 35°.
• Рассмотрим треугольник BDC: ∠DBC = 35°, ∠C = 35°, следовательно, ∠DBC = ∠C.
• Значит, треугольник BDC - равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника).

б) Рассмотрим треугольник ABC:

• Так как BD - биссектриса, то по свойству биссектрисы треугольника AD/DC = AB/BC.
• В равнобедренном треугольнике BDC BC = BD.
• В треугольнике ABD против большего угла лежит большая сторона. ∠A = 75°, ∠ABD = 35°, следовательно, BD > AD.
• Получаем BC > AD, значит, AB/BC < AB/AD.
• Так как ∠A > ∠C, то BC > AB.
• AD/DC = AB/BC < 1, следовательно, AD < DC.

Ответ: а) доказано, б) AD < DC