Вариант І Контрольная ра по теме «Прямоугольный тр 1. Рис. 4.244. Дано: 2 BAD = ∠ BCD = 90°, ADB = 15°, ∠ BDC = 75°. A Доказать: треугольник ABD равен треугольнику BCD A AB=CD Найдите АВ. 2. В треугольнике ABC ∠C = 60°, ∠ B = 90°. Высота ВВ, равна 2 см. 3. Найти: расстояние от точки А до прямой а. 4 В треугольнике ABC ∠A = 90°, ∠C = 15°. На стороне АС отмечена точка D так, что ∠DBC = 15°. а) Докажите, что BD = 2AB.

1.

К сожалению, в данном задании недостаточно информации для доказательства равенства треугольников ABD и BCD. Не указано, какие углы обозначены как 2 BAD, что делает невозможным строгое решение.

2.

Краткое пояснение: Используем тригонометрические функции для нахождения стороны AB.

1. Рассмотрим треугольник ВВ₁С. В этом треугольнике угол С равен 60°, угол ВВ₁С равен 90°, а ВВ₁ является высотой и равна 2 см.
2. Используем синус угла С:

\[\sin{C} = \frac{BB_1}{BC}\] \[\sin{60^\circ} = \frac{2}{BC}\] \[BC = \frac{2}{\sin{60^\circ}} = \frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\]

3. Рассмотрим треугольник ABC. В этом треугольнике угол B равен 90°, угол C равен 60°.
4. Используем косинус угла C:

\[\cos{C} = \frac{BC}{AC}\] \[\cos{60^\circ} = \frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}}{AC}\] \[AC = \frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}}{\cos{60^\circ}} = \frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}\]

5. Теперь найдем сторону AB, используя теорему Пифагора:

\[AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{\left(\frac{8\sqrt{3}}{3}\right)^2 - \left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)^2}\] \[AB = \sqrt{\frac{64 \cdot 3}{9} - \frac{16 \cdot 3}{9}} = \sqrt{\frac{192 - 48}{9}} = \sqrt{\frac{144}{9}} = \sqrt{16} = 4\]

Ответ: AB = 4 см

3.

Краткое пояснение: Найдем расстояние от точки A до прямой a, используя тригонометрию.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный расстоянием от точки A до прямой a, гипотенузой 4 см и углом 30°.
2. Используем синус угла 30°:

\[\sin{30^\circ} = \frac{\text{расстояние}}{4}\] \[\frac{1}{2} = \frac{\text{расстояние}}{4}\] \[\text{расстояние} = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2\]

Ответ: Расстояние от точки А до прямой a равно 2 см

4.

Краткое пояснение: Докажем, что BD = 2AB, используя свойства углов и сторон в треугольнике.

1. В треугольнике ABC угол A равен 90°, угол C равен 15°. Следовательно, угол ABC равен:

\[\angle ABC = 180^\circ - 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ\]

2. Так как угол DBC равен 15°, то угол ABD равен:

\[\angle ABD = \angle ABC - \angle DBC = 75^\circ - 15^\circ = 60^\circ\]

3. Рассмотрим треугольник ABD. Найдем угол ADB:

\[\angle ADB = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\]

4. Теперь, используя теорему синусов в треугольнике ABD:

\[\frac{BD}{\sin{A}} = \frac{AB}{\sin{ADB}}\] \[\frac{BD}{\sin{90^\circ}} = \frac{AB}{\sin{30^\circ}}\] \[\frac{BD}{1} = \frac{AB}{\frac{1}{2}}\] \[BD = 2AB\]

Ответ: BD = 2AB (доказано)