Вариант II В треугольнике CDE проведена биссектриса EF, ∠C= = 90°, ∠D = 30°. а) Докажите, что треугольник DEF равнобедренный. б) Сравните отрезки CF и DF.

Ответ: а) доказано, б) CF < DF

а) Рассмотрим треугольник CDE:

• Сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно, ∠E = 180° - ∠C - ∠D = 180° - 90° - 30° = 60°.
• EF - биссектриса, значит, ∠CEF = ∠DEF = ∠E / 2 = 60° / 2 = 30°.
• Рассмотрим треугольник DEF: ∠DEF = ∠D = 30°, следовательно, треугольник DEF - равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника).

б) В равнобедренном треугольнике DEF DE = EF.

• В треугольнике CEF против большего угла лежит большая сторона. ∠C = 90°, ∠CEF = 30°, следовательно, EF > CF.
• DE = EF > CF, значит, DE > CF.
• В треугольнике CDE против большего угла лежит большая сторона. ∠C = 90°, ∠D = 30°, следовательно, DE > CE.
• Рассмотрим треугольник DEF. ∠DEF = 30°, ∠DFE = 180° - ∠D - ∠DEF = 180° - 30° - 30° = 120°. Следовательно, ∠DFE > ∠DEF, значит, DE > DF.
• CE < DE, DE = EF, EF < DF.
• Получаем CF < DF.

Ответ: а) доказано, б) CF < DF