Вариант II Макушина 10а" 1. Упростите выражение: 1 a) 1-cosa 6) tg² actg² a - cos² a; B)1 + 2sin a cos a в)- sin a + cos a 2. Докажите тождество: a) sin a = cos atga ctga 6) +1= tga 1 sin²a B) ctg²a - cos²a = ctg²a cos²a. 3. Докажите, что при любых допустимых значениях ф значение выражения не зависит от ф sin² cos² 1-sin²-cos²

Вариант II

1. Упростите выражение:

a) 1 - \(\frac{1}{cos^2 \alpha}\)

• Вспоминаем основное тригонометрическое тождество: \(sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1\)
• Выражаем: \(cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha\)
• Тогда: \(1 - \frac{1}{cos^2 \alpha} = \frac{cos^2 \alpha - 1}{cos^2 \alpha} = \frac{-(1 - cos^2 \alpha)}{cos^2 \alpha} = \frac{-sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha} = -tg^2 \alpha\)

б) \(tg^2 \alpha \cdot ctg^2 \alpha - cos^2 \alpha\)

• Вспоминаем, что \(tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}\) и \(ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha}\)
• Значит, \(tg^2 \alpha \cdot ctg^2 \alpha = 1\)
• Тогда: \(1 - cos^2 \alpha = sin^2 \alpha\)

в) \(\frac{1 + 2sin \alpha cos \alpha}{sin \alpha + cos \alpha}\)

• Замечаем, что \(1 + 2sin \alpha cos \alpha = (sin \alpha + cos \alpha)^2\)
• Тогда: \(\frac{(sin \alpha + cos \alpha)^2}{sin \alpha + cos \alpha} = sin \alpha + cos \alpha\)

2. Докажите тождество:

a) \(sin \alpha = cos \alpha \cdot tg \alpha\)

• Вспоминаем, что \(tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}\)
• Тогда: \(cos \alpha \cdot \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = sin \alpha\)

б) \(\frac{ctg \alpha}{tg \alpha} + 1 = \frac{1}{sin^2 \alpha}\)

• Вспоминаем, что \(ctg \alpha = \frac{1}{tg \alpha}\) и \(sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1\)
• Тогда: \(\frac{ctg \alpha}{tg \alpha} = ctg^2 \alpha = \frac{cos^2 \alpha}{sin^2 \alpha}\)
• Получаем: \(\frac{cos^2 \alpha}{sin^2 \alpha} + 1 = \frac{cos^2 \alpha + sin^2 \alpha}{sin^2 \alpha} = \frac{1}{sin^2 \alpha}\)

в) \(ctg^2 \alpha - cos^2 \alpha = ctg^2 \alpha \cdot cos^2 \alpha\)

• Преобразуем левую часть: \(ctg^2 \alpha - cos^2 \alpha = \frac{cos^2 \alpha}{sin^2 \alpha} - cos^2 \alpha = cos^2 \alpha (\frac{1}{sin^2 \alpha} - 1) = cos^2 \alpha (\frac{1 - sin^2 \alpha}{sin^2 \alpha}) = cos^2 \alpha \cdot \frac{cos^2 \alpha}{sin^2 \alpha} = ctg^2 \alpha \cdot cos^2 \alpha\)

3. Докажите, что при любых допустимых значениях \(\varphi\) значение выражения не зависит от \(\varphi\)

\(\frac{sin^2 \varphi \cdot cos^2 \varphi}{1 - sin^2 \varphi - cos^2 \varphi}\)

• Вспоминаем основное тригонометрическое тождество: \(sin^2 \varphi + cos^2 \varphi = 1\)
• Тогда: \(\frac{sin^2 \varphi \cdot cos^2 \varphi}{1 - (sin^2 \varphi + cos^2 \varphi)} = \frac{sin^2 \varphi \cdot cos^2 \varphi}{1 - 1} = \frac{sin^2 \varphi \cdot cos^2 \varphi}{0}\)
• Так как деление на ноль не определено, то выражение не имеет смысла при любых значениях \(\varphi\), при которых знаменатель равен нулю.
• То есть, значение выражения зависит от \(\varphi\), что противоречит условию.