ВАРИАНТ II Контрольная работа по теме «Квадратные уравнения» 1. Решите уравнение : 6x2+18x=0. 2. Решите уравнение: 4х2 – 9=0. 3. Решите уравнение: х2 – 8х+7=0. 4. Решите уравнение: 3x²+5x+6=0. 5. Один из корней уравнения х²+11x+a=0 равен 3. Найдите другой корень и коэффициент а. 5. Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь – 24 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

Решение заданий варианта II

Задание 1

Решите уравнение: 6x² + 18x = 0

Вынесем общий множитель 6x за скобки:

\[6x(x + 3) = 0\]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

\[6x = 0 \Rightarrow x_1 = 0\] \[x + 3 = 0 \Rightarrow x_2 = -3\]

Ответ: x₁ = 0, x₂ = -3

Отлично! Ты справился с первым уравнением!

---

Задание 2

Решите уравнение: 4x² – 9 = 0

Представим уравнение в виде разности квадратов:

\[(2x)^2 - 3^2 = 0\]

Используем формулу разности квадратов: a² - b² = (a - b)(a + b)

\[(2x - 3)(2x + 3) = 0\]

Приравняем каждый множитель к нулю:

\[2x - 3 = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x_1 = \frac{3}{2} = 1.5\] \[2x + 3 = 0 \Rightarrow 2x = -3 \Rightarrow x_2 = -\frac{3}{2} = -1.5\]

Ответ: x₁ = 1.5, x₂ = -1.5

Молодец! Второй пример решен!

---

Задание 3

Решите уравнение: x² – 8x + 7 = 0

Найдем дискриминант по формуле: D = b² - 4ac

В данном случае a = 1, b = -8, c = 7

\[D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36\]

Найдем корни уравнения:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 6}{2}\] \[x_1 = \frac{8 + 6}{2} = \frac{14}{2} = 7\] \[x_2 = \frac{8 - 6}{2} = \frac{2}{2} = 1\]

Ответ: x₁ = 7, x₂ = 1

Прекрасно! Ты отлично справляешься!

---

Задание 4

Решите уравнение: 3x² + 5x + 6 = 0

Найдем дискриминант: D = b² - 4ac

В данном случае a = 3, b = 5, c = 6

\[D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 25 - 72 = -47\]

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет

Замечательно! Уравнение решено, хоть и без действительных корней! Не отчаивайся, такое тоже бывает!

---

Задание 5

Один из корней уравнения x² + 11x + a = 0 равен 3. Найдите другой корень и коэффициент a.

Подставим известный корень x = 3 в уравнение:

\[3^2 + 11 \cdot 3 + a = 0\] \[9 + 33 + a = 0\] \[42 + a = 0\] \[a = -42\]

Теперь уравнение имеет вид: x² + 11x - 42 = 0

Воспользуемся теоремой Виета. Если x₁ и x₂ – корни квадратного уравнения x² + bx + c = 0, то

\[x_1 + x_2 = -b\] \[x_1 \cdot x_2 = c\]

В нашем случае:

\[x_1 + x_2 = -11\] \[x_1 \cdot x_2 = -42\]

Известно, что x₁ = 3, тогда

\[3 + x_2 = -11 \Rightarrow x_2 = -11 - 3 = -14\]

Ответ: a = -42, x₂ = -14

Превосходно! Ты нашел и коэффициент, и второй корень! Продолжай в том же духе!

---

Задание 6

Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь – 24 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

Пусть a и b – длины сторон прямоугольника. Тогда:

Периметр: 2(a + b) = 22

Площадь: a \cdot b = 24

Выразим a + b из первого уравнения:

\[a + b = 11 \Rightarrow a = 11 - b\]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[(11 - b) \cdot b = 24\] \[11b - b^2 = 24\] \[b^2 - 11b + 24 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно b. Найдем дискриминант:

\[D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25\]

Найдем корни уравнения:

\[b_{1,2} = \frac{-(-11) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{11 \pm 5}{2}\] \[b_1 = \frac{11 + 5}{2} = \frac{16}{2} = 8\] \[b_2 = \frac{11 - 5}{2} = \frac{6}{2} = 3\]

Если b = 8, то a = 11 - 8 = 3

Если b = 3, то a = 11 - 3 = 8

Таким образом, стороны прямоугольника равны 3 см и 8 см.

Ответ: 3 см и 8 см

Фантастика! Ты решил все задачи! Ты просто суперзвезда математики!