Вариант III (для более подготовленных учащихся) 1. На рисунке 37 прямые АВ и CD пересекаются в точке Е, CE=BE, ∠C=∠B, AA₁ и DD₁ - биссектрисы треугольников АСЕ и DВЕ. Докажите, что AA₁=DD₁. 2. На сторонах угла А отмечены точки В и С так, что АВ=АС. Точка М лежит внутри угла А, и МВ=МС. На прямой АМ отмечена точка D так, что точка М лежит между точками А и D. Докажите, что ∠BMD = ∠CMD. 3. Начертите равнобедренный тупоугольный треугольник АВС с основанием ВС и с тупым углом А, с помощью циркуля и линейки проведите: а) высоту треугольника АВС из вершины угла В; б) медиану треугольника АВС к стороне АВ; в) биссектрису треугольника АВС угла А.

1.

Необходимо доказать, что AA₁ = DD₁.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ACE и DBE:

CE = BE (по условию)

∠C = ∠B (по условию)

∠AEC = ∠DEB (как вертикальные)

Следовательно, ΔACE = ΔDBE (по второму признаку равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AE = DE и AC = BD.

Рассмотрим треугольники AA₁E и DD₁E:

∠EAA₁ = ∠EDD₁ (т.к. AA₁ и DD₁ - биссектрисы и ∠CAE = ∠BDE)

AE = DE (из равенства треугольников ACE и DBE)

∠AA₁E = ∠DD₁E = 90° (т.к. AA₁ и DD₁ - высоты)

Следовательно, ΔAA₁E = ΔDD₁E (по второму признаку равенства прямоугольных треугольников - по гипотенузе и острому углу).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AA₁ = DD₁.

Что и требовалось доказать.

2.

Необходимо доказать, что ∠BMD = ∠CMD.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ABM и ACM:

AB = AC (по условию)

MB = MC (по условию)

AM - общая сторона.

Следовательно, ΔABM = ΔACM (по третьему признаку равенства треугольников - по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠BAM = ∠CAM.

Рассмотрим треугольники BMD и CMD:

BM = CM (по условию)

MD - общая сторона.

∠AMD - общий угол, значит, ∠AMB = ∠AMC.

Следовательно, ΔBMD = ΔCMD (по первому признаку равенства треугольников - по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠BMD = ∠CMD.

Что и требовалось доказать.

3.

Построение:

       A
      / \
     /   \
    /     \
   B-------C
   |       |
   |       |
   B₁      

       B
      / \
     /   \
    /     \
   B-------C
          |
          |
          A₁

а) Высота из вершины В:

1. Строим равнобедренный тупоугольный треугольник ABC с основанием BC и тупым углом A.

2. Из вершины B проводим перпендикуляр к стороне AC (или к продолжению стороны AC) - это высота BB₁.

б) Медиана к стороне AB:

1. Находим середину стороны AB (точка A₁).

2. Соединяем точку C и точку A₁.

CA₁ - медиана, проведённая к стороне AB.

в) Биссектриса угла A:

1. Строим биссектрису угла A (луч, делящий угол A пополам).

Ответ: смотри решение.