Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Вариант II 1. Вычислить: 1) sin 765°; 2) cos 19π 6 2. Вычислить cosa, если sina = 0,3 и 3. Упростить выражение: 1) cos (α- β) cos (α + β); 2) 7π < α < -5π. 3π 2 cos(-a) + cos(x + a) COS 2 2 sina-cos(-a)+1 2 4. Решить уравнение: 1) 2 sin = 1-cos x; 2 3π 2) cos +x cos 3x - cos (π 2 3x - cos (π - x) sin 3x = -1. 5. Доказать тождество (tga + ctga) (1-cos4a) = 4 sin 2a.
Ответ:
Краткое пояснение: Решаем тригонометрические уравнения и упрощаем выражения, используя известные формулы и свойства тригонометрических функций.
1. Вычислить:
1) \[\sin 765^\circ = \sin (720^\circ + 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\]
2) \[\cos \frac{19\pi}{6} = \cos (3\pi + \frac{\pi}{6}) = -\cos \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\]
2. Вычислить cos α, если sin α = 0,3 и -\(\frac{7\pi}{2}\) < α < -\(\frac{5\pi}{2}\).
Логика такая:
Так как -\(\frac{7\pi}{2}\) < α < -\(\frac{5\pi}{2}\), то -3.5π < α < -2.5π. Это означает, что угол α находится во второй четверти, где косинус отрицательный.
Используем основное тригонометрическое тождество:
\[\sin^2 α + \cos^2 α = 1\]
\[\cos^2 α = 1 - \sin^2 α = 1 - (0.3)^2 = 1 - 0.09 = 0.91\]
\[\cos α = ±\sqrt{0.91}\]
Так как α находится во второй четверти, cos α < 0.
Следовательно:
\[\cos α = -\sqrt{0.91}\]
3. Упростить выражение:
1) \[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)\]
Используем формулы косинуса разности и суммы:
\[\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta\]
\[\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta\]
Тогда:
\[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = (\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta) - (\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta) = 2\sin\alpha \sin\beta\]
2) \[\frac{\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) + \cos(\pi + \alpha)}{2\sin(\alpha - \frac{\pi}{2}) \cos(-\alpha) + 1}\]
Упрощаем числитель:
\[\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = - \sin(\alpha)\]
\[\cos(\pi + \alpha) = - \cos(\alpha)\]
Числитель: \[- \sin(\alpha) - \cos(\alpha)\]
Упрощаем знаменатель:
\[\sin(\alpha - \frac{\pi}{2}) = - \cos(\alpha)\]
\[\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)\]
Знаменатель: \[-2 \cos(\alpha) \cdot \cos(\alpha) + 1 = -2 \cos^2(\alpha) + 1 = 1 - 2 \cos^2(\alpha) = -\cos(2\alpha)\]
Итого:
\[\frac{-\sin(\alpha) - \cos(\alpha)}{-\cos(2\alpha)} = \frac{\sin(\alpha) + \cos(\alpha)}{\cos(2\alpha)}\]
4. Решить уравнение:
1) \[\2 \sin \frac{x}{2} = 1 - \cos x\]
Используем формулу \(\cos x = 1 - 2 \sin^2 \frac{x}{2}\):
\[\2 \sin \frac{x}{2} = 1 - (1 - 2 \sin^2 \frac{x}{2})\]
\[\2 \sin \frac{x}{2} = 2 \sin^2 \frac{x}{2}\]
\[\sin \frac{x}{2} = 0 \quad или \quad \sin \frac{x}{2} = 1\]
\[\frac{x}{2} = \pi n, n \in \mathbb{Z} \quad или \quad \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]
\[x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \quad или \quad x = \pi + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}\]
2) \[\cos(\frac{3\pi}{2} + x) \cos 3x - \cos(\pi - x) \sin 3x = -1\]
\[\sin(x) \cos 3x + \cos(x) \sin 3x = -1\]
\[\sin(x + 3x) = -1\]
\[\sin(4x) = -1\]
\[4x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\]
\[x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}\]
5. Доказать тождество: (tg α + ctg α)(1 - cos 4α) = 4 sin 2α
Напоминаю: \(tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) \(ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\) \(sin2\alpha = 2sin\alpha cos\alpha\) Левая часть: \[(tg \alpha + ctg \alpha)(1 - \cos 4\alpha) = (\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha})(1 - \cos 4\alpha) = (\frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha})(1 - \cos 4\alpha) = (\frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha})(1 - \cos 4\alpha)\] \[\frac{1 - \cos 4\alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{2 \sin^2 2\alpha}{\frac{1}{2} \sin 2\alpha} = \frac{2 \cdot 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{\frac{1}{2} \cdot 2 \sin \alpha \cos \alpha} = 4 \sin 2\alpha\] Следовательно, тождество доказано.Ответ: Решения и доказательства выше.
