Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВариант II 1. Найдите угол между лучом ОВ и положительной полуосью Ох, если В (3; 3). 2. Решите треугольник ВСД, если угол В = 45°; угол Д = 60°, -ВС = √3 см. 3. Найдите косинусы углов А, В и С треугольника АВС, если A (3; 9), B (0; 6), C (4; 2). Вариант III 1. Найдите угол между лучом ОС и положительной полуосью Ох, если С (√3; 1). 2. Решите треугольник СДЕ, если угол C = 60°, СД = 8 дм, СЕ = 5 дм. 3. Найдите косинус угла между векторами а и ӣ=а-в, если ā=4, ē =3, ē = 60°.
Ответ:
Вариант II
1. Найдите угол между лучом ОВ и положительной полуосью Ох, если В (3; 3).
Для нахождения угла между лучом ОВ и положительной полуосью Ох, воспользуемся формулой:
\[\cos \alpha = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\]где \( x \) и \( y \) координаты точки B.
В нашем случае, \( x = 3 \) и \( y = 3 \). Подставим значения в формулу:
\[\cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{3^2 + 3^2}} = \frac{3}{\sqrt{18}} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\]Таким образом, \( \alpha = \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 45^\circ \)
Ответ: 45°
2. Решите треугольник ВСД, если угол В = 45°; угол Д = 60°, ВС = √3 см.
Сначала найдем угол С:
\[\angle C = 180^\circ - \angle B - \angle D = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ\]Теперь, используя теорему синусов, найдем стороны ВД и СД:
\[\frac{BC}{\sin D} = \frac{BD}{\sin C} = \frac{CD}{\sin B}\]Подставим известные значения:
\[\frac{\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = \frac{BD}{\sin 75^\circ} = \frac{CD}{\sin 45^\circ}\]Известно, что \[\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\] и \[\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\]. Тогда:
\[\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{BD}{\sin 75^\circ} = \frac{CD}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\]Отсюда:
\[2 = \frac{BD}{\sin 75^\circ} = \frac{CD}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\]Найдем BD:
\[BD = 2 \sin 75^\circ\]Используем формулу для синуса суммы углов: \[\sin 75^\circ = \sin (45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ\]
\[\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\]Тогда:
\[BD = 2 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\]Найдем CD:
\[CD = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\]Ответ: ∠C = 75°, BD = (√6 + √2) / 2 см, CD = √2 см
3. Найдите косинусы углов А, В и С треугольника АВС, если A (3; 9), B (0; 6), C (4; 2).
Для начала найдем длины сторон треугольника:
\( AB = \sqrt{(3-0)^2 + (9-6)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \)
\( BC = \sqrt{(0-4)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \)
\( AC = \sqrt{(3-4)^2 + (9-2)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \)
Теперь воспользуемся теоремой косинусов для каждого угла:
Для угла A:
\[\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{(3\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2 - (4\sqrt{2})^2}{2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{18 + 50 - 32}{60} = \frac{36}{60} = \frac{3}{5}\]Для угла B:
\[\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{(3\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2 - (5\sqrt{2})^2}{2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{18 + 32 - 50}{48} = \frac{0}{48} = 0\]Для угла C:
\[\cos C = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC} = \frac{(5\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2 - (3\sqrt{2})^2}{2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{50 + 32 - 18}{80} = \frac{64}{80} = \frac{4}{5}\]Ответ: cos A = 3/5, cos B = 0, cos C = 4/5
Вариант III
1. Найдите угол между лучом ОС и положительной полуосью Ох, если С (√3; 1).
Для нахождения угла между лучом ОС и положительной полуосью Ох, воспользуемся формулой:
\[\cos \alpha = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\]где \( x \) и \( y \) координаты точки C.
В нашем случае, \[ x = \sqrt{3} \] и \[ y = 1 \]. Подставим значения в формулу:
\[\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3 + 1}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]Таким образом, \[ \alpha = \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 30^\circ \]
Ответ: 30°
2. Решите треугольник СДЕ, если угол C = 60°, СД = 8 дм, СЕ = 5 дм.
Чтобы решить треугольник, нам нужно найти сторону DE и углы D и E. Воспользуемся теоремой косинусов для нахождения стороны DE:
\[DE^2 = CD^2 + CE^2 - 2 \cdot CD \cdot CE \cdot \cos C\]Подставим известные значения:
\[DE^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ\]Так как \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\), то:
\[DE^2 = 64 + 25 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 89 - 40 = 49\]Таким образом, \[DE = \sqrt{49} = 7\]
Теперь, используя теорему синусов, найдем углы D и E:
\[\frac{DE}{\sin C} = \frac{CD}{\sin E} = \frac{CE}{\sin D}\]Подставим известные значения:
\[\frac{7}{\sin 60^\circ} = \frac{8}{\sin E} = \frac{5}{\sin D}\]Тогда:
\[\sin E = \frac{8 \cdot \sin 60^\circ}{7} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{7} = \frac{4\sqrt{3}}{7}\] \[\sin D = \frac{5 \cdot \sin 60^\circ}{7} = \frac{5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{7} = \frac{5\sqrt{3}}{14}\]Найдем углы E и D:
\[E = \arcsin(\frac{4\sqrt{3}}{7}) \approx 82.15^\circ\] \[D = \arcsin(\frac{5\sqrt{3}}{14}) \approx 38.21^\circ\]Ответ: DE = 7 дм, ∠D ≈ 38.21°, ∠E ≈ 82.15°
3. Найдите косинус угла между векторами a и ӣ=a-в, если |ā|=4, |ē|=3, (ā ē) = 60°.
Обозначим угол между векторами a и b как \[\theta = 60^\circ\]
Вектор \(\vec{n} = \vec{a} - \vec{b}\). Найдем его длину:
\[|\vec{n}|^2 = (\vec{a} - \vec{b})^2 = \vec{a}^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b}^2 = |\vec{a}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta + |\vec{b}|^2\]Подставим известные значения:
\[|\vec{n}|^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ + 3^2 = 16 - 24 \cdot \frac{1}{2} + 9 = 16 - 12 + 9 = 13\] \[|\vec{n}| = \sqrt{13}\]Теперь найдем косинус угла между векторами a и n:
\[\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{n}}{|\vec{a}||\vec{n}|} = \frac{\vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b})}{|\vec{a}||\vec{n}|} = \frac{\vec{a}^2 - \vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{n}|} = \frac{|\vec{a}|^2 - |\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta}{|\vec{a}||\vec{n}|}\]Подставим известные значения:
\[\cos \alpha = \frac{4^2 - 4 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ}{4 \cdot \sqrt{13}} = \frac{16 - 12 \cdot \frac{1}{2}}{4\sqrt{13}} = \frac{16 - 6}{4\sqrt{13}} = \frac{10}{4\sqrt{13}} = \frac{5}{2\sqrt{13}} = \frac{5\sqrt{13}}{26}\]Ответ: cos α = (5√13) / 26
Ответ: 45°
У тебя отлично получается! Продолжай в том же духе, и ты сможешь решить любые задачи!
