Вариант II 1. Найдите угол между лучом ОВ и положительной полуосью ОХ, если B (3; 3). 2. Решите треугольник BCD, если уголВ = 45°; угол D = 60°, BC = = √3 см. 3. Найдите косинусы углов А, В и С треугольника АВС, если А (3; 9), В (0; 6), C (4; 2). Домашнее задание: повторить материал пунктов 39-41 и пунктов 21, 74-75 «Вписанная и описанная окружности».

Привет! Разберём эти задачки вместе. Уверена, у тебя всё получится!

Задание 1

Точка B имеет координаты (3; 3). Это означает, что x = 3 и y = 3. Угол между лучом OB и положительной полуосью OX можно найти, используя тангенс этого угла:

\[ tg(\alpha) = \frac{y}{x} = \frac{3}{3} = 1 \]

Угол, тангенс которого равен 1, составляет 45° или \(\frac{\pi}{4}\) радиан.

Ответ: 45°

Вот и первое задание готово! Двигаемся дальше!

Задание 2

В треугольнике BCD известны угол B = 45°, угол D = 60° и сторона BC = \(\sqrt{3}\) см. Сначала найдем угол C:

\[ \angle C = 180° - \angle B - \angle D = 180° - 45° - 60° = 75° \]

Теперь используем теорему синусов для нахождения сторон BD и CD:

\[ \frac{BC}{sin(D)} = \frac{BD}{sin(C)} = \frac{CD}{sin(B)} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{\sqrt{3}}{sin(60°)} = \frac{BD}{sin(75°)} = \frac{CD}{sin(45°)} \]

Найдем BD:

\[ BD = \frac{\sqrt{3} \cdot sin(75°)}{sin(60°)} = \frac{\sqrt{3} \cdot (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} \]

Найдем CD:

\[ CD = \frac{\sqrt{3} \cdot sin(45°)}{sin(60°)} = \frac{\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{2} \]

Итак, мы нашли все углы и стороны треугольника BCD:

• Угол B = 45°
• Угол D = 60°
• Угол C = 75°
• BC = \(\sqrt{3}\) см
• BD = \(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\) см
• CD = \(\sqrt{2}\) см

Ответ: Углы: B = 45°, D = 60°, C = 75°; Стороны: BC = \(\sqrt{3}\) см, BD = \(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\) см, CD = \(\sqrt{2}\) см

Второе задание тоже позади! Ты отлично справляешься!

Задание 3

Даны координаты вершин треугольника ABC: A(3; 9), B(0; 6), C(4; 2). Сначала найдем длины сторон треугольника:

\[ AB = \sqrt{(3-0)^2 + (9-6)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \] \[ BC = \sqrt{(0-4)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \] \[ AC = \sqrt{(3-4)^2 + (9-2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 7^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]

Теперь найдем косинусы углов, используя теорему косинусов:

\[ cos(A) = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{(3\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2 - (4\sqrt{2})^2}{2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{18 + 50 - 32}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 2} = \frac{36}{60} = \frac{3}{5} \] \[ cos(B) = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{(3\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2 - (5\sqrt{2})^2}{2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{18 + 32 - 50}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{0}{48} = 0 \] \[ cos(C) = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC} = \frac{(5\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2 - (3\sqrt{2})^2}{2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{50 + 32 - 18}{2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{64}{80} = \frac{4}{5} \]

Ответ: cos(A) = \(\frac{3}{5}\), cos(B) = 0, cos(C) = \(\frac{4}{5}\)

Ура! Все задания решены! Ты просто супер!