Вариант II. 1) Решите уравнение: ∛(x³ + 4x² − 2) = ∛(x² + 4x − 2). 2) Решите неравенство: (x² + 2·2ˣ + 2)⁵ > (x² + 4ˣ + 2ˣ)⁵. 3) Решите неравенство: 8^(2x + 1) > 8^(2x + 6). 4) Решите уравнение: √(x + 3) = x − 3. 5) Решите уравнение: log₄(x + 3) + log₄(x − 2) = 1. 6) Решите уравнение: √(x² + 2x − √x) = √(3 − √x). 7) Решите уравнение: 2sin²x/(cos x + 1) = 1.

Приравниваем подкоренные выражения: \(x^3+4x^2-2=x^2+4x-2\). Получаем \(x^3+3x^2-4x=x(x+4)(x-1)=0\). Поэтому \(x=-4,0,1\).

Ответ: \(x=-4,0,1\).

Пятая степень возрастает, поэтому \(x^2+2\cdot2^x+2>x^2+4^x+2^x\). Отсюда \(2^x+2>4^x\). Положим \(t=2^x>0\): \(t+2>t^2\), или \(t^2-t-2<0\). Значит, \(0

Ответ: \(x\in(-\infty,1)\).

Основание \(8>1\), поэтому сравниваем показатели: \(2x+1>2x+6\), что невозможно.

Ответ: решений нет, \(\varnothing\).

ОДЗ: \(x\ge-3\), а так как правая часть неотрицательна, дополнительно \(x\ge3\). Возводим в квадрат: \(x+3=(x-3)^2\). Тогда \(x^2-7x+6=0\), откуда \(x=1\) или \(x=6\). ОДЗ удовлетворяет только \(x=6\).

Ответ: \(x=6\).

ОДЗ: \(x>3\). Получаем \(\log_4((x+3)(x-2))=1\), значит, \((x+3)(x-2)=4\). Отсюда \(x^2+x-10=0\), поэтому \(x=\frac{-1\pm\sqrt{41}}2\). ОДЗ удовлетворяет только \(x=\frac{-1+\sqrt{41}}2\).

Ответ: \(x=\frac{-1+\sqrt{41}}2\).

ОДЗ: \(0\le x\le9\). Приравниваем подкоренные выражения: \(x^2+2x-\sqrt{x}=3-\sqrt{x}\). Получаем \(x^2+2x-3=0\), то есть \((x-1)(x+3)=0\). ОДЗ удовлетворяет только \(x=1\).

Ответ: \(x=1\).

ОДЗ: \(\cos x\ne-1\). Используем \(\sin^2x=(1-\cos x)(1+\cos x)\): \(2(1-\cos x)=1\). Следовательно, \(\cos x=\frac12\), поэтому \(x=2\pi n\pm\frac\pi3\), \(n\in\mathbb Z\).

Ответ: \(x=2\pi n\pm\frac\pi3\), \(n\in\mathbb Z\).