Вариант І 1. В равнобедренном треугольнике CDE с основанием СЕ и углом Д. равным 102°, проведена высота СН. Найди- те угол DCH. 2. В треугольнике АВС проведены биссектрисы АМ и ВМ, пересекающиеся в точке К, причём ∠AKN 58°. Най- дите угол АСВ.

Задача 1

Давай решим эту задачу по геометрии. Нам дан равнобедренный треугольник CDE с основанием CE и углом D, равным 102 градусам. Также дана высота CH. Наша цель – найти угол DCH.

1. Найдем углы при основании CE.

   Так как треугольник CDE равнобедренный, углы при основании равны. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. Значит, \[\angle C + \angle E + \angle D = 180^\circ\] Углы при основании равны, то есть \[\angle C = \angle E\] Тогда \[2 \angle C + 102^\circ = 180^\circ\] \[2 \angle C = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ\] \[\angle C = \frac{78^\circ}{2} = 39^\circ\]

2. Найдем угол DCH.

   CH – высота, следовательно, \[\angle DHC = 90^\circ\] Рассмотрим треугольник DCH. В этом треугольнике \[\angle D = 102^\circ\] (не может быть, т.к. это угол при основании, вероятно, опечатка и угол CDE = углу DCE = 39) и \[\angle DHC = 90^\circ\] Тогда \[\angle DCH = 180^\circ - (90^\circ + 39^\circ) = 180^\circ - 129^\circ = 51^\circ\]

Ответ: ∠DCH = 51°

Задача 2

Теперь разберем вторую задачу. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AM и BN, которые пересекаются в точке K. Известно, что ∠AKN = 58°. Наша цель – найти угол ACB.

1. Найдем угол AKB.

   Угол AKN и угол AKB – смежные, поэтому \[\angle AKB = 180^\circ - \angle AKN = 180^\circ - 58^\circ = 122^\circ\]

2. Найдем сумму углов A и B.

   Рассмотрим треугольник AKB. Сумма углов в этом треугольнике равна 180 градусам, то есть \[\angle A + \angle B + \angle AKB = 180^\circ\] Так как AM и BN – биссектрисы, то \[\angle KAB = \frac{1}{2} \angle A \quad \text{и} \quad \angle KBA = \frac{1}{2} \angle B\] Значит, \[\frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle B + 122^\circ = 180^\circ\] \[\frac{1}{2} (\angle A + \angle B) = 180^\circ - 122^\circ = 58^\circ\] \[\angle A + \angle B = 2 \times 58^\circ = 116^\circ\]

3. Найдем угол C.

   В треугольнике ABC сумма углов равна 180 градусам, то есть \[\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\] \[\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ\]

Ответ: ∠ACB = 64°