Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВариант І 1) Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наибольшая боковая грань - квадрат. 2) Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 45°. а) Найдите высоту пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 3) Основание прямого параллелепипеда - ромб с диагоналями 10 и 24 см. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда. Контрольная работа по теме «Многогранники». 10 класс Вариант ІІ 1) Основание прямой призмы прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см и катетом 12 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наименьшая боковая грань - квадрат. 2) Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 16 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. а) Найдите боковое ребро пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 3) Основание прямого параллелепипеда - ромб с меньшей диагональю 12 см. Большая диагональ параллелепипеда равна 16√2 см и образует с боковым ребром угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипед
Ответ:
Вариант I
1) Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Наибольшая боковая грань - квадрат. Найдем площадь боковой поверхности призмы.
- Найдем гипотенузу основания: \[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\] см.
- Так как наибольшая боковая грань - квадрат, то высота призмы равна 10 см.
- Площадь боковой поверхности: \[S_{бок} = P \cdot h = (6 + 8 + 10) \cdot 10 = 24 \cdot 10 = 240\] см².
Ответ: 240 см²
2) Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания угол 45°.
а) Найдем высоту пирамиды.
- Высота пирамиды: \[h = l \cdot sin(45°) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\] см.
Ответ: 2√2 см
б) Найдем площадь боковой поверхности пирамиды.
- Сторона основания: \[a = l \cdot cos(45°) \cdot 2 = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2 = 4\sqrt{2}\] см.
- Апофема пирамиды: \[a_п = \sqrt{h^2 + (a/2)^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{8 + 8} = \sqrt{16} = 4\] см.
- Площадь боковой поверхности: \[S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot a_п = \frac{1}{2} (4 \cdot 4\sqrt{2}) \cdot 4 = 32\sqrt{2}\] см².
Ответ: 32√2 см²
3) Основание прямого параллелепипеда - ромб с диагоналями 10 см и 24 см. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°. Найдем площадь полной поверхности параллелепипеда.
- Сторона ромба: \[a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\] см.
- Высота параллелепипеда: \[h = d_1 \cdot sin(45°) = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}\] см.
- Площадь боковой поверхности: \[S_{бок} = P \cdot h = 4 \cdot 13 \cdot 5\sqrt{2} = 260\sqrt{2}\] см².
- Площадь основания: \[S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120\] см².
- Площадь полной поверхности: \[S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 120 + 260\sqrt{2} = 240 + 260\sqrt{2}\] см².
Ответ: 240 + 260√2 см²
Вариант II
1) Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см и катетом 12 см. Наименьшая боковая грань - квадрат. Найдем площадь боковой поверхности призмы.
- Другой катет основания: \[b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5\] см.
- Так как наименьшая боковая грань - квадрат, то высота призмы равна 5 см.
- Площадь боковой поверхности: \[S_{бок} = P \cdot h = (13 + 12 + 5) \cdot 5 = 30 \cdot 5 = 150\] см².
Ответ: 150 см²
2) Высота правильной четырехугольной пирамиды равна √6 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°.
а) Найдем боковое ребро пирамиды.
- Половина диагонали основания: \[d/2 = h \cdot \tan(60°) = \sqrt{6} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\] см.
- Боковое ребро: \[l = \sqrt{h^2 + (d/2)^2 + (d/2)^2} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{6 + 18} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\] см.
Ответ: 2√6 см
б) Найдем площадь боковой поверхности пирамиды.
- Сторона основания: \[a = \sqrt{2} (d/2) = \sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 6\] см.
- Апофема пирамиды: \[a_п = \sqrt{h^2 + (a/2)^2} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + 3^2} = \sqrt{6 + 9} = \sqrt{15}\] см.
- Площадь боковой поверхности: \[S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot a_п = \frac{1}{2} (4 \cdot 6) \cdot \sqrt{15} = 12\sqrt{15}\] см².
Ответ: 12√15 см²
3) Основание прямого параллелепипеда - ромб с меньшей диагональю 12 см. Большая диагональ параллелепипеда равна 16√2 см и образует с боковым ребром угол 45°. Найдем площадь полной поверхности параллелепипеда.
- Сторона ромба: \[a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2}\]
- Чтобы найти d_2, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной большей диагонали параллелепипеда, половиной меньшей диагонали ромба и высотой параллелепипеда.
- Высота параллелепипеда: \[h = 16\sqrt{2} \cdot \sin(45°) = 16\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 16\] см.
- Вторая диагональ ромба: \[d_2 = 2 \sqrt{(8\sqrt{2})^2 - 6^2} = 2 \sqrt{128 - 36} = 2 \sqrt{92} = 4 \sqrt{23}\] см.
- Сторона ромба: \[a = \sqrt{(\frac{12}{2})^2 + (\frac{4\sqrt{23}}{2})^2} = \sqrt{6^2 + (2\sqrt{23})^2} = \sqrt{36 + 92} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}\] см.
- Площадь боковой поверхности: \[S_{бок} = P \cdot h = 4 \cdot 8\sqrt{2} \cdot 16 = 512\sqrt{2}\] см².
- Площадь основания: \[S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 4\sqrt{23} = 24\sqrt{23}\] см².
- Площадь полной поверхности: \[S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 24\sqrt{23} + 512\sqrt{2} = 48\sqrt{23} + 512\sqrt{2}\] см².
Ответ: 48√23 + 512√2 см²
Цифровой атлет: Скилл прокачан до небес!
Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс
Стань легендой класса: поделись решением с теми, кто в танке
