Вариант І 1. Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с катета- ми 15 и 20 см. Большая боковая грань и основание призмы равнове- лики. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы. 2. Боковая поверхность правильной четырехугольной призмы имеет площадь 16 дм². Диагональ основания призмы равна 4\sqrt{2} дм. Най- дите площадь сечения призмы, проходящего через диагонали двух смежных боковых граней, имеющих общую вершину. Вариант ІІ 1. Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с гипоте- нузой 25 см и катетом 20 см. Меньшая боковая грань и основание призмы равновелики. Найдите площадь боковой и полной поверх- ности призмы. 2. Высота правильной четырехугольной призмы равна 1 дм, а площадь боковой поверхности равна 16 дм². Найдите площадь сечения приз- мы, проходящего через диагональ нижнего основания, и противо- лежащую вершину верхнего основания.

Задание 1

Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с катетами 15 см и 20 см. Большая боковая грань и основание призмы равновелики. Найти площадь боковой и полной поверхности призмы.

Решение:

• Найдем гипотенузу основания призмы:

\[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25 \text{ см}\]

• Площадь основания призмы равна:

\[S_{осн} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150 \text{ см}^2\]

• Так как большая боковая грань и основание призмы равновелики, то площадь большей боковой грани равна площади основания:

\[S_{бок.гр.} = S_{осн} = 150 \text{ см}^2\]

• Высота призмы равна большему катету, так как площадь боковой грани равна произведению высоты на этот катет:

\[h = \frac{S_{бок.гр.}}{b} = \frac{150}{20} = 7.5 \text{ см}\]

• Площадь боковой поверхности призмы:

\[S_{бок} = (a + b + c)h = (15 + 20 + 25) \cdot 7.5 = 60 \cdot 7.5 = 450 \text{ см}^2\]

• Площадь полной поверхности призмы:

\[S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 450 + 2 \cdot 150 = 450 + 300 = 750 \text{ см}^2\]

Ответ: \(S_{бок} = 450 \text{ см}^2\), \(S_{полн} = 750 \text{ см}^2\)

Задание 2

Боковая поверхность правильной четырехугольной призмы имеет площадь 16 дм². Диагональ основания призмы равна \(4\sqrt{2}\) дм. Найти площадь сечения призмы, проходящего через диагонали двух смежных боковых граней, имеющих общую вершину.

Решение:

• Найдем сторону основания призмы:

\[a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 4 \text{ дм}\]

• Площадь боковой поверхности призмы:

\[S_{бок} = 4ah = 16 \text{ дм}^2\]

• Найдем высоту призмы:

\[h = \frac{S_{бок}}{4a} = \frac{16}{4 \cdot 4} = 1 \text{ дм}\]

• Сечение призмы, проходящее через диагонали двух смежных боковых граней, является прямоугольником со сторонами, равными диагонали основания и высоте призмы.

\[S_{сеч} = d \cdot h = 4\sqrt{2} \cdot 1 = 4\sqrt{2} \text{ дм}^2\]

Ответ: \(S_{сеч} = 4\sqrt{2} \text{ дм}^2\)

Задание 1

Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с гипотенузой 25 см и катетом 20 см. Меньшая боковая грань и основание призмы равновелики. Найти площадь боковой и полной поверхности призмы.

Решение:

• Найдем второй катет основания призмы:

\[b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{25^2 - 20^2} = \sqrt{625 - 400} = \sqrt{225} = 15 \text{ см}\]

• Площадь основания призмы равна:

\[S_{осн} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 15 = 150 \text{ см}^2\]

• Так как меньшая боковая грань и основание призмы равновелики, то площадь меньшей боковой грани равна площади основания:

\[S_{бок.гр.} = S_{осн} = 150 \text{ см}^2\]

• Высота призмы равна меньшему катету, так как площадь боковой грани равна произведению высоты на этот катет:

\[h = \frac{S_{бок.гр.}}{b} = \frac{150}{15} = 10 \text{ см}\]

• Площадь боковой поверхности призмы:

\[S_{бок} = (a + b + c)h = (20 + 15 + 25) \cdot 10 = 60 \cdot 10 = 600 \text{ см}^2\]

• Площадь полной поверхности призмы:

\[S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 600 + 2 \cdot 150 = 600 + 300 = 900 \text{ см}^2\]

Ответ: \(S_{бок} = 600 \text{ см}^2\), \(S_{полн} = 900 \text{ см}^2\)

Задание 2

Высота правильной четырехугольной призмы равна 1 дм, а площадь боковой поверхности равна 16 дм². Найти площадь сечения призмы, проходящего через диагональ нижнего основания, и противолежащую вершину верхнего основания.

Решение:

• Площадь боковой поверхности призмы:

\[S_{бок} = 4ah = 16 \text{ дм}^2\]

• Найдем сторону основания призмы:

\[a = \frac{S_{бок}}{4h} = \frac{16}{4 \cdot 1} = 4 \text{ дм}\]

• Диагональ основания призмы равна:

\[d = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \text{ дм}\]

• Рассмотрим сечение призмы, проходящее через диагональ нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания. Это сечение является равнобедренным треугольником, основание которого равно диагонали основания призмы, а боковые стороны равны диагонали боковой грани.
• Найдем диагональ боковой грани:

\[d_{бок} = \sqrt{a^2 + h^2} = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} \text{ дм}\]

• Площадь сечения призмы равна:

\[S_{сеч} = \frac{1}{2} d \cdot h_{тр}\]

• Найдем высоту треугольника, опущенную на основание:

\[h_{тр} = \sqrt{d_{бок}^2 - (\frac{d}{2})^2} = \sqrt{17 - (\frac{4\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{17 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{17 - 8} = \sqrt{9} = 3 \text{ дм}\]

• Площадь сечения призмы равна:

\[S_{сеч} = \frac{1}{2} d \cdot h_{тр} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 3 = 6\sqrt{2} \text{ дм}^2\]

Ответ: \(S_{сеч} = 6\sqrt{2} \text{ дм}^2\)