Вариант I. 1) Решите уравнение: ∛(x² − x² + 1) = ∛(2x³ − 2x + 1). 2) Решите неравенство: (x² + 3ˣ + 3)⁵ > (x² + 9ˣ − 3ˣ)⁵. 3) Решите неравенство: (1/2)^(x² + 2) > (1/2)^(3x). 4) Решите уравнение: √(x − 5) = x − 7. 5) Решите уравнение: log₃(x + 1) + log₃(x − 3) = 1. 6) Решите уравнение: √(x² + √x − 3) = √(2x + √x). 7) Решите уравнение: 2sin²x/(1 − cos x) = 3.

Так как функция кубического корня возрастает, приравниваем подкоренные выражения: \(x^2-x^2+1=2x^3-2x+1\), откуда \(2x(x^2-1)=0\). Следовательно, \(x\in\{-1,0,1\}\).

Ответ: \(x=-1,0,1\).

Пятая степень возрастает, поэтому \(x^2+3^x+3>x^2+9^x-3^x\). Получаем \(2\cdot3^x+3>9^x\). Положим \(t=3^x>0\): \(t^2-2t-3<0\), то есть \((t-3)(t+1)<0\). Поэтому \(0

Ответ: \(x\in(-\infty,1)\).

Поскольку основание \(\frac12\) меньше единицы, знак неравенства меняется: \(x^2+2<3x\). Тогда \(x^2-3x+2<0\), откуда \(1

Ответ: \(x\in(1,2)\).

ОДЗ: \(x\ge5\). Правая часть должна быть неотрицательной, поэтому \(x\ge7\). Возводим в квадрат: \(x-5=(x-7)^2\), откуда \(x^2-15x+54=0\), то есть \(x=6\) или \(x=9\). Условию \(x\ge7\) удовлетворяет только \(x=9\).

Ответ: \(x=9\).

ОДЗ: \(x>3\). Объединяем логарифмы: \(\log_3((x+1)(x-3))=1\). Значит, \((x+1)(x-3)=3\), или \(x^2-2x-6=0\). Получаем \(x=1\pm\sqrt7\). ОДЗ удовлетворяет только \(x=1+\sqrt7\).

Ответ: \(x=1+\sqrt7\).

ОДЗ: \(x\ge0\). Приравниваем подкоренные выражения: \(x^2+\sqrt{x}-3=2x+\sqrt{x}\). Тогда \(x^2-2x-3=0\), откуда \(x=3\) или \(x=-1\). ОДЗ удовлетворяет только \(x=3\).

Ответ: \(x=3\).

ОДЗ: \(\cos x\ne1\). Используем \(\sin^2x=(1-\cos x)(1+\cos x)\): \(2(1+\cos x)=3\). Поэтому \(\cos x=\frac12\). Следовательно, \(x=2\pi n\pm\frac\pi3\), \(n\in\mathbb Z\).

Ответ: \(x=2\pi n\pm\frac\pi3\), \(n\in\mathbb Z\).