Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика1. вариант. 1) Гените систему уравнений y-2x=6 x²-xy+y²=12 2) Решить систему уравнений Sx²+y=5 (6x²-y=2 3) Периметр ямоугольника равен 34 см, a его диагональ равна Вам. Найдите стороны данного прямоугольника 4) Решите неравенство: (x-1)²+y²=1 5) Решите систему неравенств 5/2+2)²+(y-1)²=4 ((x+2)²+(y-1)² = 16
Ответ:
1) Решим систему уравнений
\[\begin{cases} y - 2x = 6 \\ x^2 - xy + y^2 = 12 \end{cases}\]
Выразим y из первого уравнения: y = 2x + 6
Подставим это выражение во второе уравнение:
\[x^2 - x(2x + 6) + (2x + 6)^2 = 12\]
\[x^2 - 2x^2 - 6x + 4x^2 + 24x + 36 = 12\]
\[3x^2 + 18x + 24 = 0\]
Разделим на 3:
\[x^2 + 6x + 8 = 0\]
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
\[D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4\]
\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + 2}{2} = -2\]
\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - 2}{2} = -4\]
Найдем соответствующие значения y:
Если x = -2, то y = 2 \cdot (-2) + 6 = -4 + 6 = 2
Если x = -4, то y = 2 \cdot (-4) + 6 = -8 + 6 = -2
Ответ: Решения системы уравнений: (-2; 2) и (-4; -2)
2) Решим систему уравнений
\[\begin{cases} x^2 + y = 5 \\ 6x^2 - y = 2 \end{cases}\]
Сложим оба уравнения:
\[x^2 + y + 6x^2 - y = 5 + 2\]
\[7x^2 = 7\]
\[x^2 = 1\]
\[x = \pm 1\]
Найдем соответствующие значения y:
Если x = 1, то y = 5 - x^2 = 5 - 1 = 4
Если x = -1, то y = 5 - x^2 = 5 - 1 = 4
Ответ: Решения системы уравнений: (1; 4) и (-1; 4)
3) Найдем стороны прямоугольника
Пусть a и b - стороны прямоугольника, а d - его диагональ.
Периметр прямоугольника равен 34 см, то есть:
\[2(a + b) = 34\]
\[a + b = 17\]
Диагональ равна 13 см, то есть, по теореме Пифагора:
\[a^2 + b^2 = 13^2 = 169\]
Мы имеем систему уравнений:
\[\begin{cases} a + b = 17 \\ a^2 + b^2 = 169 \end{cases}\]
Выразим b из первого уравнения: b = 17 - a
Подставим во второе уравнение:
\[a^2 + (17 - a)^2 = 169\]
\[a^2 + 289 - 34a + a^2 = 169\]
\[2a^2 - 34a + 120 = 0\]
Разделим на 2:
\[a^2 - 17a + 60 = 0\]
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
\[D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 289 - 240 = 49\]
\[a_1 = \frac{17 + \sqrt{49}}{2} = \frac{17 + 7}{2} = 12\]
\[a_2 = \frac{17 - \sqrt{49}}{2} = \frac{17 - 7}{2} = 5\]
Найдем соответствующие значения b:
Если a = 12, то b = 17 - 12 = 5
Если a = 5, то b = 17 - 5 = 12
Ответ: Стороны прямоугольника равны 5 см и 12 см.
4) Решим неравенство
\[(x - 1)^2 + y^2 \leq 1\]
Это неравенство описывает круг с центром в точке (1, 0) и радиусом 1.
Решением неравенства является множество точек (x, y), лежащих внутри или на границе этого круга.
Ответ: Множество точек (x, y), лежащих внутри или на границе круга с центром в точке (1, 0) и радиусом 1.
5) Решим систему неравенств
\[\begin{cases} (x + 2)^2 + (y - 1)^2 \leq 4 \\ (x + 2)^2 + (y - 1)^2 \geq 16 \end{cases}\]
Первое неравенство описывает круг с центром в точке (-2, 1) и радиусом 2.
Второе неравенство описывает внешность круга с центром в точке (-2, 1) и радиусом 4.
Система не имеет решений, так как не существует точек, которые одновременно лежат внутри круга радиуса 2 и вне круга радиуса 4 с одним и тем же центром.
Ответ: Решений нет.
Ответ: Решения выше
