1 вариант №1. Дано: ДАВС прямоугольный (LC = 90°). Найдите ВС, если АВ = 10 см. (рисунок 1) №№2. Дано: ДАВС прямоугольный (LC = 90°). Найдите .А. (рисунок 2) №3. Даны два прямоугольных треугольння ДАВС, ДАРС, известно, что ВС = CD, угол АСВ - 55°. Доказать: ДАВС = ДАДС. Найти угол BAD. (рисунок 3) №4. Дан ДАВС, ВО высота. Доказать: ДАВОДСВО. Найдите АВ, если угол А 30°, BO -6 см. (рисунок 4)

Решение задач:

1. №1. Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\), \(AB = 10 \text{ см}\). Найти: BC.

   Рассмотрим прямоугольный \(\triangle ABC\). \(\angle B = 60^\circ\), тогда \(\angle A = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\). Катет, лежащий против угла в \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, значит \(BC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5\text{ см}\).

   Ответ: \(BC = 5\text{ см}\)

2. №2. Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\). Найти: \(\angle A\).

   Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(90^\circ\). \(\angle A = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ\).

   Ответ: \(\angle A = 55^\circ\)

3. №3. Дано: \(\triangle ABC\), \(\triangle ADC\), \(BC = CD\), \(\angle ACB = 55^\circ\). Доказать: \(\triangle ABC = \triangle ADC\). Найти: \(\angle BAD\).

   Т.к. \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADC\) прямоугольные и \(BC = CD\), то \(\triangle ABC = \triangle ADC\) по двум катетам. Следовательно, \(AC\) - общая, \(\angle BAC = \angle DAC\).

   Т.к. \(\angle ACB = 55^\circ\), то \(\angle BAC = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ\). Тогда \(\angle BAD = \angle BAC + \angle DAC = 35^\circ + 35^\circ = 70^\circ\).

   Ответ: \(\angle BAD = 70^\circ\)

4. №4. Дано: \(\triangle ABC\), \(BO\) - высота, \(\angle A = 30^\circ\), \(BO = 6 \text{ см}\). Доказать: \(\triangle ABO = \triangle CBO\). Найти: \(AB\).

   Рассмотрим \(\triangle ABO\) и \(\triangle CBO\). \(BO\) - общая, \(\angle BOA = \angle BOC = 90^\circ\). \(\angle ABO = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\). \(\angle CBO = 90^\circ - \angle C = 60^\circ\). Следовательно, \(\triangle ABO = \triangle CBO\) по катету и прилежащему к нему острому углу.

   В \(\triangle ABO\) катет \(BO\) лежит против угла \(30^\circ\), значит \(AB = 2 \cdot BO = 2 \cdot 6 = 12 \text{ см}\).

   Ответ: \(AB = 12 \text{ см}\)

Решение задач:

1. №1. Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\), \(AB = 20 \text{ см}\). Найти: BC.

   Рассмотрим прямоугольный \(\triangle ABC\). \(\angle B = 60^\circ\), тогда \(\angle A = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\). Катет, лежащий против угла в \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, значит \(BC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10\text{ см}\).

   Ответ: \(BC = 10\text{ см}\)

2. №2. Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\). Найти: \(\angle A\).

   Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(90^\circ\). \(\angle A = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 44^\circ = 46^\circ\).

   Ответ: \(\angle A = 46^\circ\)

3. №3. Дано: \(\triangle ABC\), \(\triangle ADC\), \(AC\) - биссектриса, \(\angle BAC = 35^\circ\). Доказать: \(\triangle ABC = \triangle ADC\). Найти: \(\angle BCD\).

   Т.к. \(AC\) - биссектриса, то \(\angle BAC = \angle DAC = 35^\circ\). Следовательно, \(\angle BCA = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ\). Тогда \(\angle BCD = \angle BCA + \angle DCA = 55^\circ + 55^\circ = 110^\circ\).

   Ответ: \(\angle BCD = 110^\circ\)

4. №4. Дано: \(\triangle ABC\), \(BD\) - высота, \(\angle A = 30^\circ\), \(AB = 16 \text{ см}\). Доказать: \(\triangle ABD = \triangle CBD\). Найти: \(BD\).

   В \(\triangle ABD\) катет \(BD\) лежит против угла \(30^\circ\), значит \(BD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8 \text{ см}\).

   Ответ: \(BD = 8 \text{ см}\)