Вариант 1 1. 2. C A 16 25 H B Найти: а) СH, AC, BC. 6) SACH : SBCH Высота, проведенная из вершины прямого угла прямоуголь- ного треугольника, равна 6 см и делит гипотенузу на отрезки, один из которых больше другого на 5 см. Найдите стороны тре- угольника. В каком отношении данная высота делит площадь треугольника?

Задание 1

а)

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. По теореме Пифагора:

\[AC^2 = AH^2 + CH^2\] \[AC^2 = 16^2 + CH^2 = 256 + CH^2\]

Также:

\[BC^2 = BH^2 + CH^2\] \[BC^2 = 25^2 + CH^2 = 625 + CH^2\]

Площадь треугольника ABC можно найти двумя способами:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH\]

Выразим AC \(\cdot\) BC через CH:

\[AC \cdot BC = AB \cdot CH\] \[AC \cdot BC = (16 + 25) \cdot CH = 41 \cdot CH\]

Возведём обе части в квадрат:

\[(AC \cdot BC)^2 = (41 \cdot CH)^2\] \[AC^2 \cdot BC^2 = 1681 \cdot CH^2\]

Подставим выражения для AC² и BC²:

\[(256 + CH^2) \cdot (625 + CH^2) = 1681 \cdot CH^2\] \[160000 + 256CH^2 + 625CH^2 + CH^4 = 1681CH^2\] \[CH^4 + 881CH^2 - 1681CH^2 + 160000 = 0\] \[CH^4 - 800CH^2 + 160000 = 0\]

Пусть \(x = CH^2\), тогда уравнение примет вид:

\[x^2 - 800x + 160000 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = (-800)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 160000 = 640000 - 640000 = 0\]

Так как дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень:

\[x = \frac{-(-800)}{2 \cdot 1} = \frac{800}{2} = 400\]

Следовательно:

\[CH^2 = 400\] \[CH = \sqrt{400} = 20\]

Теперь найдём AC и BC:

\[AC^2 = 256 + CH^2 = 256 + 400 = 656\] \[AC = \sqrt{656} = 4\sqrt{41}\] \[BC^2 = 625 + CH^2 = 625 + 400 = 1025\] \[BC = \sqrt{1025} = 5\sqrt{41}\]

б)

Площадь треугольника ACH:

\[S_{ACH} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 20 = 160\]

Площадь треугольника BCH:

\[S_{BCH} = \frac{1}{2} \cdot BH \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 20 = 250\]

Отношение площадей:

\[\frac{S_{ACH}}{S_{BCH}} = \frac{160}{250} = \frac{16}{25}\]

Ответ: a) \(CH = 20\), \(AC = 4\sqrt{41}\), \(BC = 5\sqrt{41}\); б) \(\frac{S_{ACH}}{S_{BCH}} = \frac{16}{25}\)

Задание 2

Пусть один отрезок, на который высота делит гипотенузу, равен \(x\), тогда другой равен \(x + 5\). По теореме о высоте, проведённой из вершины прямого угла:

\[h^2 = x(x + 5)\] \[6^2 = x^2 + 5x\] \[x^2 + 5x - 36 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169\] \[x_1 = \frac{-5 + \sqrt{169}}{2} = \frac{-5 + 13}{2} = \frac{8}{2} = 4\] \[x_2 = \frac{-5 - \sqrt{169}}{2} = \frac{-5 - 13}{2} = \frac{-18}{2} = -9\]

Так как длина не может быть отрицательной, то \(x = 4\). Тогда другой отрезок равен \(4 + 5 = 9\).

Гипотенуза равна \(4 + 9 = 13\). Теперь найдём катеты. Пусть один катет равен \(a\), а другой \(b\). Тогда:

\[a^2 = 4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52\] \[a = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\] \[b^2 = 9^2 + 6^2 = 81 + 36 = 117\] \[b = \sqrt{117} = 3\sqrt{13}\]

Площадь треугольника:

\[S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{13} \cdot 3\sqrt{13} = 3 \cdot 13 = 39\]

Площадь одного треугольника, образованного высотой:

\[S_1 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12\]

Площадь другого треугольника:

\[S_2 = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 6 = 27\]

Отношение площадей:

\[\frac{S_1}{S_2} = \frac{12}{27} = \frac{4}{9}\]

Ответ: В отношении \(\frac{4}{9}\)