2 вариант 1. Биссектрса ВД делит сторону АС треугольника АВС на отрезки АД = 7 см и СД = 10,5 см, АВ = 9 см. Чему равен периметр треугольника АВС? 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к боковой стороне, делит ее на отрезки 20см и 25см, считая от основания. Найдите периметр треугольника. 3. Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке К. Основания трапеции BC = 4 см, AD = 12 см. Отрезки КС = 7 см и KD = 15 см. Найти ВК и АК. 4. Стороны прямоугольника равны 8 см и 12 см. Найдите его диагональ.

Задание 1

Биссектриса BD делит сторону AC треугольника ABC на отрезки AD = 7 см и CD = 10.5 см, AB = 9 см. Нужно найти периметр треугольника ABC.

Логика такая:

1. Применим свойство биссектрисы треугольника: биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника.
2. То есть, \(\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{CD}\). Подставим известные значения: \(\frac{9}{BC} = \frac{7}{10.5}\).
3. Найдем BC: \(BC = \frac{9 \cdot 10.5}{7} = \frac{94.5}{7} = 13.5\) см.
4. Периметр треугольника ABC равен сумме всех его сторон: \(P = AB + BC + AC\).
5. Найдем AC: \(AC = AD + CD = 7 + 10.5 = 17.5\) см.
6. Подставим значения и найдем периметр: \(P = 9 + 13.5 + 17.5 = 40\) см.

Ответ: 40 см

Задание 2

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к боковой стороне, делит её на отрезки 20 см и 25 см, считая от основания. Нужно найти периметр треугольника.

Разбираемся:

1. Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC, и биссектриса AL проведена к боковой стороне BC.
2. Биссектриса AL делит сторону BC на отрезки BL = 20 см и LC = 25 см. Тогда BC = BL + LC = 20 + 25 = 45 см. Значит, и AB = 45 см.
3. Применим свойство биссектрисы: \(\frac{BL}{AB} = \frac{LC}{AC}\). Подставим известные значения: \(\frac{20}{45} = \frac{25}{AC}\).
4. Найдем AC: \(AC = \frac{25 \cdot 45}{20} = \frac{1125}{20} = 56.25\) см.
5. Периметр треугольника ABC равен сумме всех его сторон: \(P = AB + BC + AC = 45 + 45 + 56.25 = 146.25\) см.

Ответ: 146.25 см

Задание 3

Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке K. Основания трапеции BC = 4 см, AD = 12 см. Отрезки KC = 7 см и KD = 15 см. Найти BK и AK.

Смотри, тут всё просто:

1. Рассмотрим треугольники BKC и DKA. Угол BKC равен углу DKA как вертикальные углы. Угол KBC равен углу KDA как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BD.
2. Следовательно, треугольники BKC и DKA подобны по двум углам (угол BKC = угол DKA, угол KBC = угол KDA).
3. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: \(\frac{BK}{DK} = \frac{KC}{KA} = \frac{BC}{AD}\).
4. Подставим известные значения: \(\frac{BK}{15} = \frac{7}{KA} = \frac{4}{12}\).
5. Найдем BK: \(\frac{BK}{15} = \frac{4}{12}\), откуда \(BK = \frac{15 \cdot 4}{12} = \frac{60}{12} = 5\) см.
6. Найдем AK: \(\frac{7}{AK} = \frac{4}{12}\), откуда \(AK = \frac{7 \cdot 12}{4} = \frac{84}{4} = 21\) см.

Ответ: BK = 5 см, AK = 21 см

Задание 4

Стороны прямоугольника равны 8 см и 12 см. Найти его диагональ.

Логика такая:

1. Пусть дан прямоугольник со сторонами a = 8 см и b = 12 см. Диагональ прямоугольника можно найти по теореме Пифагора.
2. Диагональ d является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного сторонами прямоугольника.
3. По теореме Пифагора: \(d^2 = a^2 + b^2\).
4. Подставим значения: \(d^2 = 8^2 + 12^2 = 64 + 144 = 208\).
5. Найдем диагональ: \(d = \sqrt{208} = \sqrt{16 \cdot 13} = 4\sqrt{13}\) см.

Ответ: 4\(\sqrt{13}\) см