Вариант А1 1 Вычислите: a) 2 sin 2π π -ctg 3 6 6) sin 56° cos 34° + + cos 56° sin 34°. Постройте график функции π y = cos(x-) 4 Пользуясь графиком, определите: а) нули функции; б) промежутки убывания функ- ции. Решите уравнение: π a) sin(x-)+1=0; 3 √2 6) 1-2 cos² 2x = 2 π B) √3 tg (-x)=-1. 6 a) 2sin² x - 3sinx - 2 = 0; 5) sin 2x - cosx = 0;

Ответ: Решения задач варианта А1 представлены ниже.

Вычислите:

a) 2sin(2π/3) - ctg(π/6)

• sin(2π/3) = sin(π - π/3) = sin(π/3) = √3/2
• ctg(π/6) = √3

Тогда:

2(√3/2) - √3 = √3 - √3 = 0

б) sin 56° cos 34° + cos 56° sin 34°.

Используем формулу синуса суммы: sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b

sin(56° + 34°) = sin(90°) = 1

Постройте график функции:

y = cos(x - π/4)

Пользуясь графиком, определите:

а) нули функции;

Функция y = cos(x - π/4) имеет нули в точках, где cos(x - π/4) = 0.

Это происходит, когда x - π/4 = π/2 + πk, где k - целое число.

x = 3π/4 + πk

б) промежутки убывания функции.

Функция y = cos(x - π/4) убывает, когда её аргумент находится в интервалах, где косинус убывает.

cos(x) убывает на интервалах (2πk, π + 2πk), где k - целое число.

Для y = cos(x - π/4) это будет интервал (π/4 + 2πk, 5π/4 + 2πk)

Решите уравнение:

a) sin(x - π/3) + 1 = 0

sin(x - π/3) = -1

x - π/3 = -π/2 + 2πk

x = -π/2 + π/3 + 2πk

x = -π/6 + 2πk

б) 1 - 2 cos² 2x = √2/2

-2 cos² 2x = √2/2 - 1

2 cos² 2x = 1 - √2/2

cos² 2x = (2 - √2)/4

cos 2x = ±√(2 - √2)/2

2x = ±arccos(√(2 - √2)/2) + 2πk

x = ±1/2 arccos(√(2 - √2)/2) + πk

в) √3 tg (π/6 - x) = -1

tg (π/6 - x) = -1/√3

π/6 - x = -π/6 + πk

-x = -π/6 - π/6 + πk

x = π/3 - πk

a) 2sin² x - 3sinx - 2 = 0

Пусть sinx = t, тогда 2t² - 3t - 2 = 0

D = (-3)² - 4 * 2 * (-2) = 9 + 16 = 25

t1 = (3 + 5) / 4 = 2

t2 = (3 - 5) / 4 = -1/2

sinx = 2 (невозможно)

sinx = -1/2

x = -π/6 + 2πk, x = 7π/6 + 2πk

б) sin 2x - cosx = 0

2sinx cosx - cosx = 0

cosx (2sinx - 1) = 0

cosx = 0, x = π/2 + πk

2sinx - 1 = 0

sinx = 1/2

x = π/6 + 2πk, x = 5π/6 + 2πk

Ответ: Решения задач варианта А1 представлены выше.