Вариант А2 1 Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 6√3 см. Найдите периметр треугольника. 2 Около окружности описана равнобедренная трапеция, периметр которой равен 24 см. Найдите боковую сторону трапеции. 3 Около прямоугольного треугольника описана окружность радиуса 2,5 см. Найдите периметр и площадь этого треугольника, если его катеты относятся как 3:4.

Решение:

1. Периметр равностороннего треугольника:

1. Связь радиуса вписанной окружности и стороны равностороннего треугольника: \[ r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \]где r — радиус вписанной окружности, a — сторона треугольника.
2. Вычисление стороны треугольника: \[ a = r \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \text{ см} \cdot 2\sqrt{3} = 12 \cdot 3 = 36 \text{ см} \]
3. Вычисление периметра: \[ P = 3a = 3 \cdot 36 \text{ см} = 108 \text{ см} \]

Ответ: 108 см.

2. Боковая сторона равнобедренной трапеции:

1. Свойства описанной окружности: Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
2. Периметр трапеции: \[ P = a + b + 2c \]где a и b — основания, c — боковая сторона.
3. Условие для равнобедренной трапеции, описанной около окружности: Сумма оснований равна сумме боковых сторон: \[ a + b = 2c \]
4. Подстановка в формулу периметра: \[ P = (a+b) + 2c = 2c + 2c = 4c \]
5. Вычисление боковой стороны: \[ 4c = 24 \text{ см} \] \[ c = \frac{24}{4} = 6 \text{ см} \]

Ответ: 6 см.

3. Периметр и площадь прямоугольного треугольника:

1. Связь радиуса описанной окружности и гипотенузы прямоугольного треугольника: Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы: \[ R = \frac{c}{2} \]где R — радиус описанной окружности, c — гипотенуза.
2. Вычисление гипотенузы: \[ c = 2R = 2 \cdot 2,5 \text{ см} = 5 \text{ см} \]
3. Отношение катетов: Пусть катеты равны 3x и 4x.
4. Применение теоремы Пифагора: \[ (3x)^2 + (4x)^2 = c^2 \] \[ 9x^2 + 16x^2 = 5^2 \] \[ 25x^2 = 25 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = 1 \]
5. Вычисление катетов: \[ a = 3x = 3 \cdot 1 = 3 \text{ см} \] \[ b = 4x = 4 \cdot 1 = 4 \text{ см} \]
6. Вычисление периметра: \[ P = a + b + c = 3 \text{ см} + 4 \text{ см} + 5 \text{ см} = 12 \text{ см} \]
7. Вычисление площади: \[ S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 3 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 6 \text{ см}^2 \]

Ответ: Периметр 12 см, площадь 6 см².