Вариант А1. Луч OB делит угол AOC на два угла. а) Найдите углы AOB и BOC, если ∠AOC = 120°, а угол AOB в 3 раза больше угла BOC. б) Луч OD — биссектриса угла AOC. Найдите угол BOD.

а) Пусть \(\angle BOC=x\). Тогда \(\angle AOB=3x\). Так как луч \(OB\) делит угол \(AOC\), то \(\angle AOB+\angle BOC=\angle AOC\):

\(3x+x=120^\circ\),
\(4x=120^\circ\),
\(x=30^\circ\).

Следовательно, \(\angle BOC=30^\circ\), а \(\angle AOB=3\cdot30^\circ=90^\circ\).

б) Луч \(OD\) — биссектриса угла \(AOC\), поэтому \(\angle AOD=\angle DOC=120^\circ:2=60^\circ\). Луч \(OB\) расположен внутри угла \(AOC\), причём \(\angle AOB=90^\circ\). Поэтому \(\angle BOD=|90^\circ-60^\circ|=30^\circ\).

Ответ: а) \(\angle AOB=90^\circ\), \(\angle BOC=30^\circ\); б) \(\angle BOD=30^\circ\).