Вариант А1. 1. В треугольнике ABC ∠A = 70°, ∠C = 55°. а) Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный, и укажите его основание. б) Отрезок ВМ — высота данного треугольника. Найдите углы, на которые она делит угол ABC. 2. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них а) Докажите, что ∆АОС = ∆BOD. б) Найдите ∠OAC, если ∠ODB = 20°, ∠AOC = 115°. 3. В равнобедренном треугольнике с периметром 64 см одна из сторон равна 16 см. Найдите длину боковой стороны треугольника.

Вариант А1

1. 
   

   а) Доказательство:

   
   

   Сумма углов треугольника ABC равна 180°.

   
   

   \( \angle B = 180° - (\angle A + \angle C) \)

   
   

   \( \angle B = 180° - (70° + 55°) \)

   
   

   \( \angle B = 180° - 125° \)

   
   

   \( \angle B = 55° \)

   
   

   Так как \( \angle C = \angle B = 55° \), то треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC.

   
   


2. 
   

   б) Нахождение углов, на которые высота делит угол ABC:

   
   

   Высота BM в равнобедренном треугольнике ABC является также и биссектрисой, и медианой. Следовательно, она делит угол ABC пополам.

   
   

   \( \angle ABM = \angle CBM = \frac{\angle B}{2} = \frac{55°}{2} = 27.5° \)

   
   


3. 
   

   а) Доказательство равенства треугольников ∆АОС и ∆BOD:

   
   

   Дано: AB и CD пересекаются в точке O, AO = OB, CO = OD (так как O — середина отрезков AB и CD).

   
   

   Углы ∠AOC и ∠BOD являются вертикальными, следовательно, \( \angle AOC = \angle BOD \).

   
   

   По двум сторонам и углу между ними (признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними), \( \triangle AOC = \triangle BOD \).

   
   


4. 
   

   б) Нахождение ∠OAC:

   
   

   Из равенства треугольников \( \triangle AOC = \triangle BOD \) следует, что \( \angle OAC = \angle OBD \) и \( \angle OCA = \angle ODB \).

   
   

   Нам дано \( \angle ODB = 20° \), значит \( \angle OCA = 20° \).

   
   

   В треугольнике AOC: \( \angle AOC = 115° \), \( \angle OCA = 20° \).

   
   

   Сумма углов треугольника равна 180°.

   
   

   \( \angle OAC = 180° - (\angle AOC + \angle OCA) \)

   
   

   \( \angle OAC = 180° - (115° + 20°) \)

   
   

   \( \angle OAC = 180° - 135° \)

   
   

   \( \angle OAC = 45° \)

   
   


5. 
   

   Нахождение длины боковой стороны:

   
   

   В равнобедренном треугольнике две стороны равны (боковые стороны), а третья — основание. Периметр равен сумме длин всех сторон.

   
   

   Возможны два случая:

   
   
   
   
   1. Сторона длиной 16 см — основание.
   
   
   
   

   Пусть основание AC = 16 см. Тогда боковые стороны AB = BC = x.

   
   

   Периметр = AB + BC + AC = x + x + 16 = 2x + 16.

   
   

   2x + 16 = 64

   
   

   2x = 64 - 16

   
   

   2x = 48

   
   

   x = 24 см.

   
   
   
   
   1. Сторона длиной 16 см — боковая сторона.
   
   
   
   

   Пусть AB = BC = 16 см. Тогда основание AC = x.

   
   

   Периметр = AB + BC + AC = 16 + 16 + x = 32 + x.

   
   

   32 + x = 64

   
   

   x = 64 - 32

   
   

   x = 32 см.

   
   

   В этом случае третья сторона (основание) равна 32 см. Проверим условие существования треугольника: сумма двух меньших сторон должна быть больше большей. 16 + 16 = 32. Это не выполняется (32 не больше 32). Следовательно, этот случай невозможен.

   
   

Ответ: Длина боковой стороны треугольника равна 24 см.