Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВариант 4 1. На рисунке 62 точка O – центр окружности, ∠MOA = 40°. Найдите угол MBA. 2. К окружности с центром O проведена касательная CD (D – точка касания). Найдите радиус окружности, если CD = 10 см и ∠DCO = 30°. 3. В окружности с центром O проведены диаметр AB и хорды AC и AD так, что ∠BAC = ∠BAD (рис. 63). Докажите, что AC = AD. 4. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и медиане, проведённой к боковой стороне. 5. Даны окружность и две точки вне её. Найдите на окружности точку, равноудалённую от этих двух точек. Сколько решений может иметь задача?
Ответ:
Вариант 4
1. Угол MBA:
Угол MBA — вписанный угол, опирающийся на дугу MA. Центральный угол MOA также опирается на дугу MA.
\( \angle MBA = \frac{1}{2} \angle MOA \)
\( \angle MBA = \frac{1}{2} \cdot 40° = 20° \)
Ответ: 20°
2. Радиус окружности:
OD — радиус, CD — касательная, значит, OD ⊥ CD. Треугольник ODC — прямоугольный с ∠ODC = 90°.
По условию CD = 10 см.
В прямоугольном треугольнике ODC:
\( \tan(\angle DCO) = \frac{OD}{CD} \)
\( \tan(30°) = \frac{OD}{10} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{OD}{10} \)
\( OD = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \) см.
Ответ: \( \frac{10\sqrt{3}}{3} \) см
3. Доказательство AC = AD:
AB — диаметр. Углы ∠BAC и ∠BAD — вписанные, опирающиеся на дуги BC и BD соответственно.
По условию \( \angle BAC = \angle BAD \).
Равные вписанные углы опираются на равные дуги. Следовательно, дуга BC = дуга BD.
Равные дуги стягиваются равными хордами. Следовательно, AC = AD.
4. Построение равнобедренного треугольника:
- Постройте отрезок AB — основание треугольника.
- Постройте серединный перпендикуляр к отрезку AB.
- Отложите на серединном перпендикуляре отрезок CM, равный данной медиане, проведённой к боковой стороне.
- Соедините точки A и C, B и C. Треугольник ABC — искомый.
5. Количество решений:
Задача имеет 2 решения. Точка на окружности, равноудаленная от двух точек вне ее, является пересечением серединного перпендикуляра к отрезку, соединяющему эти две точки, и окружности. В зависимости от расположения точек и окружности, может быть 0, 1 или 2 точки пересечения.
Похожие
- Вариант 1 1. На рисунке 271 точка O – центр окружности, ∠AOC = 50°. Найдите угол BCO. 2. К окружности с центром O провели касательную AB (B – точка касания). Найдите радиус окружности, если AB = 8 см и ∠AOB = 45°. 3. Через концы диаметра AB окружности с центром O проведены параллельные хорды BC и AD (рис. 272). Докажите, что AD = BC. 4. Постройте равнобедренный треугольник по медиане, проведённой к основанию, и углу между этой медианой и боковой стороной треугольника. 5. На данной окружности постройте точку, находящуюся на данном расстоянии от данной прямой. Сколько решений может иметь задача?
- Вариант 2 1. На рисунке 271 точка O – центр окружности, ∠AOC = 40°. Найдите угол ABC. 2. К окружности с центром O провели касательную AB (D – точка касания). Найдите радиус окружности, если AB = 16 см и ∠DOA = 30°. 3. В окружности с центром O проведены диаметр AB и хорды AC и AD так, что ∠BAC = ∠BAD (рис. 281). Докажите, что AC = AD. 4. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и медиане, проведённой к одному из боковых сторон. 5. На данной окружности постройте точку, равноудалённую от двух данных пересекающихся прямых. Сколько решений может иметь задача?
- Вариант 3 1. На рисунке 62 точка O – центр окружности, ∠ABC = 28°. Найдите угол AOC. 2. К окружности с центром O проведена касательная CD (D – точка касания). Найдите отрезок OC, если радиус окружности равен 6 см и ∠DCO = 30°. 3. В окружности с центром O проведены диаметр AB и хорды AC и AD так, что ∠BAC = ∠BAD (рис. 63). Докажите, что AC = AD. 4. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и медиане, проведённой к ней. 5. Даны окружность и две точки вне её. Найдите на окружности точку, равноудалённую от этих двух точек. Сколько решений может иметь задача?
