Вариант 3. Контрольная работа по теме «Квадратные уравнения» 1. Решите уравнение: A) 64x² - x = 0 Б) 121x² = 100 2. Решите уравнение: 4x² + 7x - 2 = 0 3. Решите уравнение: (x + 9)² – 16 = 0 4. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что один из них на 17 см меньше другого, а гипотенуза равна 25 см. 5. Найдите подбором корни уравнения, используя теорему Виета: x² - 15x + 54 = 0

Вариант 3

Контрольная работа по теме «Квадратные уравнения»

1. Решите уравнение:




• A) \( 64x^2 - x = 0 \)


• Б) \( 121x^2 = 100 \)





Решение:





• A) \( 64x^2 - x = 0 \)
  
  \( x(64x - 1) = 0 \)
  
  \( x_1 = 0 \) или \( 64x - 1 = 0 \)
  
  \( 64x = 1 \)
  
  \( x_2 = \frac{1}{64} \)


• Б) \( 121x^2 = 100 \)
  
  \( x^2 = \frac{100}{121} \)
  
  \( x = \pm \sqrt{\frac{100}{121}} \)
  
  \( x = \pm \frac{10}{11} \)





Ответ: A) \( x_1 = 0, x_2 = \frac{1}{64} \); Б) \( x = \pm \frac{10}{11} \).




2. Решите уравнение: \( 4x^2 + 7x - 2 = 0 \)



Решение:

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \)

\( D = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 49 + 32 = 81 \)

\( \sqrt{D} = 9 \)

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 9}{2 \cdot 4} = \frac{-16}{8} = -2 \)


Ответ: \( x_1 = \frac{1}{4}, x_2 = -2 \).




3. Решите уравнение: \( (x + 9)^2 – 16 = 0 \)



Решение:

\( (x + 9)^2 = 16 \)

\( x + 9 = \pm \sqrt{16} \)

\( x + 9 = \pm 4 \)

1) \( x + 9 = 4 \) → \( x = 4 - 9 = -5 \)

2) \( x + 9 = -4 \) → \( x = -4 - 9 = -13 \)


Ответ: \( x_1 = -5, x_2 = -13 \).




4. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что один из них на 17 см меньше другого, а гипотенуза равна 25 см.



Решение:

Пусть один катет равен \( x \) см. Тогда другой катет равен \( x - 17 \) см.
По теореме Пифагора: \( x^2 + (x - 17)^2 = 25^2 \)

\( x^2 + x^2 - 34x + 289 = 625 \)

\( 2x^2 - 34x + 289 - 625 = 0 \)

\( 2x^2 - 34x - 336 = 0 \)

Разделим на 2: \( x^2 - 17x - 168 = 0 \)
Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \)

\( D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-168) = 289 + 672 = 961 \)

\( \sqrt{D} = 31 \)

\( x_1 = \frac{-(-17) + 31}{2 \cdot 1} = \frac{17 + 31}{2} = \frac{48}{2} = 24 \)

\( x_2 = \frac{-(-17) - 31}{2 \cdot 1} = \frac{17 - 31}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \)
Так как длина катета не может быть отрицательной, \( x = 24 \) см.
Тогда другой катет равен \( x - 17 = 24 - 17 = 7 \) см.


Ответ: катеты равны 7 см и 24 см.




5. Найдите подбором корни уравнения, используя теорему Виета: \( x^2 - 15x + 54 = 0 \)



Решение:

По теореме Виета для уравнения \( x^2 + px + q = 0 \), сумма корней \( x_1 + x_2 = -p \), произведение корней \( x_1 \cdot x_2 = q \).
В нашем случае: \( x_1 + x_2 = 15 \) и \( x_1 \cdot x_2 = 54 \).
Подбираем пары чисел, произведение которых равно 54:
(1, 54), (2, 27), (3, 18), (6, 9).
Проверяем сумму этих пар:
1 + 54 = 55 ≠ 15
2 + 27 = 29 ≠ 15
3 + 18 = 21 ≠ 15
6 + 9 = 15 = 15
Значит, корни уравнения: \( x_1 = 6, x_2 = 9 \).


Ответ: \( x_1 = 6, x_2 = 9 \).

Вариант 4

1. Решите уравнение:




• A) \( x^2 + 81x = 0 \)


• Б) \( 81x^2 = 144 \)





Решение:





• A) \( x^2 + 81x = 0 \)
  
  \( x(x + 81) = 0 \)
  
  \( x_1 = 0 \) или \( x + 81 = 0 \)
  
  \( x_2 = -81 \)


• Б) \( 81x^2 = 144 \)
  
  \( x^2 = \frac{144}{81} \)
  
  \( x = \pm \sqrt{\frac{144}{81}} \)
  
  \( x = \pm \frac{12}{9} = \pm \frac{4}{3} \)





Ответ: A) \( x_1 = 0, x_2 = -81 \); Б) \( x = \pm \frac{4}{3} \).




2. Решите уравнение: \( 5x^2 - 9x - 2 = 0 \)



Решение:

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \)

\( D = (-9)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121 \)

\( \sqrt{D} = 11 \)

\( x_1 = \frac{-(-9) + 11}{2 \cdot 5} = \frac{9 + 11}{10} = \frac{20}{10} = 2 \)

\( x_2 = \frac{-(-9) - 11}{2 \cdot 5} = \frac{9 - 11}{10} = \frac{-2}{10} = -0.2 \)


Ответ: \( x_1 = 2, x_2 = -0.2 \).




3. Решите уравнение: \( (x + 7)^2 - 25 = 0 \)



Решение:

\( (x + 7)^2 = 25 \)

\( x + 7 = \pm \sqrt{25} \)

\( x + 7 = \pm 5 \)

1) \( x + 7 = 5 \) → \( x = 5 - 7 = -2 \)

2) \( x + 7 = -5 \) → \( x = -5 - 7 = -12 \)


Ответ: \( x_1 = -2, x_2 = -12 \).




4. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что один из них на 7 см больше другого, а гипотенуза равна 17 см.



Решение:

Пусть один катет равен \( x \) см. Тогда другой катет равен \( x + 7 \) см.
По теореме Пифагора: \( x^2 + (x + 7)^2 = 17^2 \)

\( x^2 + x^2 + 14x + 49 = 289 \)

\( 2x^2 + 14x + 49 - 289 = 0 \)

\( 2x^2 + 14x - 240 = 0 \)

Разделим на 2: \( x^2 + 7x - 120 = 0 \)
Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \)

\( D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 49 + 480 = 529 \)

\( \sqrt{D} = 23 \)

\( x_1 = \frac{-7 + 23}{2 \cdot 1} = \frac{16}{2} = 8 \)

\( x_2 = \frac{-7 - 23}{2 \cdot 1} = \frac{-30}{2} = -15 \)
Так как длина катета не может быть отрицательной, \( x = 8 \) см.
Тогда другой катет равен \( x + 7 = 8 + 7 = 15 \) см.


Ответ: катеты равны 8 см и 15 см.




5. Найдите подбором корни уравнения, используя теорему Виета: \( x^2 - 13x + 42 = 0 \)



Решение:

По теореме Виета для уравнения \( x^2 + px + q = 0 \), сумма корней \( x_1 + x_2 = -p \), произведение корней \( x_1 \cdot x_2 = q \).
В нашем случае: \( x_1 + x_2 = 13 \) и \( x_1 \cdot x_2 = 42 \).
Подбираем пары чисел, произведение которых равно 42:
(1, 42), (2, 21), (3, 14), (6, 7).
Проверяем сумму этих пар:
1 + 42 = 43 ≠ 13
2 + 21 = 23 ≠ 13
3 + 14 = 17 ≠ 13
6 + 7 = 13 = 13
Значит, корни уравнения: \( x_1 = 6, x_2 = 7 \).


Ответ: \( x_1 = 6, x_2 = 7 \).