Вариант 2 Решите задачу, используя координатно-векторный метод. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между прямыми АС и DC1.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатно-векторным методом. Пусть куб имеет сторону равную 1. Установим систему координат так, чтобы вершина A совпадала с началом координат (0,0,0), а рёбра AB, AD, AA1 лежали на осях Ox, Oy, Oz соответственно.

Координаты вершин куба:

• A = (0, 0, 0)
• B = (1, 0, 0)
• C = (1, 1, 0)
• D = (0, 1, 0)
• A1 = (0, 0, 1)
• B1 = (1, 0, 1)
• C1 = (1, 1, 1)
• D1 = (0, 1, 1)

Найдём векторы, соответствующие прямым AC и DC1.

Вектор \( \vec{AC} \) : \( \vec{AC} = C - A = (1, 1, 0) - (0, 0, 0) = (1, 1, 0) \)

Вектор \( \vec{DC_1} \) : \( \vec{DC_1} = C_1 - D = (1, 1, 1) - (0, 1, 0) = (1, 0, 1) \)

Теперь найдём угол \( \theta \) между этими векторами, используя формулу скалярного произведения:

\( \vec{AC} \cdot \vec{DC_1} = |\vec{AC}| \cdot |\vec{DC_1}| \cdot \cos \theta \)

Вычислим скалярное произведение:

\( \vec{AC} \cdot \vec{DC_1} = (1)(1) + (1)(0) + (0)(1) = 1 + 0 + 0 = 1 \)

Вычислим длины векторов:

\( |\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2} \)

\( |\vec{DC_1}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2} \)

Теперь найдём косинус угла:

\( \cos \theta = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{DC_1}}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{DC_1}|} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2} \)

Так как \( \cos \theta = \frac{1}{2} \), то угол \( \theta = 60^{\circ} \) или \( \frac{\pi}{3} \) радиан.

Ответ: угол между прямыми АС и DC1 равен 60°.