Вариант 2 1. В равносторонний треугольник со стороной 8 см вписана окружность. Найдите радиус окружности. 2. Четырехугольник ABCD описан около окружности. Найдите стороны BC и AD, если AB = 7 см, CD = 11 см, BC в 2 раза меньше AD.

Вариант 2

1. 1. Нахождение радиуса вписанной окружности:

   Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник: $$r = \frac{a}{2\[\sqrt{3}\]}$$, где $$a$$ — сторона треугольника.

   Подставим значение стороны $$a = 8$$ см:

   $$r = \frac{8}{2\[\sqrt{3}\]} = \frac{4}{\[\sqrt{3}\]}$$ см.

   Для удобства можно избавиться от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $$\[\sqrt{3}\]$$:

   $$r = \frac{4 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{4\[\sqrt{3}\]}{3}$$ см.

   Ответ: $$\[ \frac{4\[\sqrt{3}\]}{3} \]$$ см.

2. 2. Нахождение сторон четырехугольника:

   Для четырехугольника ABCD, описанного около окружности, справедливо свойство: сумма противоположных сторон равна.

   $$AB + CD = BC + AD$$

   Нам дано:

   • $$AB = 7$$ см
   • $$CD = 11$$ см
   • $$BC = \frac{1}{2} \times AD$$

   Подставим известные значения в свойство:

   $$7 + 11 = BC + AD$$

   $$18 = BC + AD$$

   Теперь подставим выражение для BC:

   $$18 = \frac{1}{2} \times AD + AD$$

   $$18 = \frac{3}{2} \times AD$$

   Выразим AD:

   $$AD = 18 \times \frac{2}{3} = \frac{36}{3} = 12$$ см.

   Теперь найдем сторону BC:

   $$BC = \frac{1}{2} \times AD = \frac{1}{2} \times 12 = 6$$ см.

   Ответ: $$BC = 6$$ см, $$AD = 12$$ см.