Вариант 21. Дана функция y = x³ + 3x². 1. Найти точку минимума. 2. Найти точку перегиба. 3. Найти наибольшее значение функции y = 2x³ - 2x² на промежутке [0;2]. 4. Составить уравнение касательной к графику функции y = x³ (1 - x²) в точке x₀ = 1. 5. Найти ускорение точки, движущейся прямолинейно по закону S = 1 + 2t + t³ при t = 3.

Решение:

1. Точка минимума функции y = x³ + 3x²

Найдём производную функции:

\( y' = 3x^2 + 6x \)

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( 3x^2 + 6x = 0 \)

\( 3x(x + 2) = 0 \)

Следовательно, \( x = 0 \) или \( x = -2 \).

Найдём вторую производную:

\( y'' = 6x + 6 \)

Проверим знаки второй производной в критических точках:

При \( x = -2 \): \( y''(-2) = 6(-2) + 6 = -12 + 6 = -6 < 0 \) — точка максимума.

При \( x = 0 \): \( y''(0) = 6(0) + 6 = 6 > 0 \) — точка минимума.

Значение функции в точке минимума:

\( y(0) = 0^3 + 3(0)^2 = 0 \)

2. Точка перегиба

Точка перегиба находится там, где вторая производная равна нулю или не существует, и меняет знак.

Из предыдущего пункта, \( y''(x) = 6x + 6 \).

Приравняем вторую производную к нулю:

\( 6x + 6 = 0 \)

\( 6x = -6 \)

\( x = -1 \)

При \( x = -1 \) вторая производная меняет знак (слева от -1 она отрицательна, справа — положительна), значит, это точка перегиба.

Значение функции в точке перегиба:

\( y(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 = -1 + 3 = 2 \)

3. Наибольшее значение функции y = 2x³ - 2x² на промежутке [0;2]

Найдём производную функции:

\( y' = 6x^2 - 4x \)

Приравняем производную к нулю:

\( 6x^2 - 4x = 0 \)

\( 2x(3x - 2) = 0 \)

Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = 2/3 \).

Обе критические точки принадлежат промежутку [0; 2].

Вычислим значения функции на концах промежутка и в критических точках:

\( y(0) = 2(0)^3 - 2(0)^2 = 0 \)

\( y(2/3) = 2(2/3)^3 - 2(2/3)^2 = 2(8/27) - 2(4/9) = 16/27 - 8/9 = 16/27 - 24/27 = -8/27 \)

\( y(2) = 2(2)^3 - 2(2)^2 = 2(8) - 2(4) = 16 - 8 = 8 \)

Наибольшее значение функции равно 8.

4. Уравнение касательной к графику функции y = x³ (1 - x²) в точке x₀ = 1

Сначала упростим функцию:

\( y = x^3 - x^5 \)

Найдём значение функции в точке \( x_0 = 1 \):

\( y(1) = 1^3 - 1^5 = 1 - 1 = 0 \)

Найдём производную функции:

\( y' = 3x^2 - 5x^4 \)

Найдём значение производной в точке \( x_0 = 1 \) (это угловой коэффициент касательной):

\( y'(1) = 3(1)^2 - 5(1)^4 = 3 - 5 = -2 \)

Уравнение касательной имеет вид \( y - y_0 = k(x - x_0) \), где \( k \) — угловой коэффициент.

\( y - 0 = -2(x - 1) \)

\( y = -2x + 2 \)

5. Ускорение точки, движущейся прямолинейно по закону S = 1 + 2t + t³ при t = 3

Скорость точки — это первая производная от закона движения по времени:

\( v(t) = S'(t) \)

\( v(t) = \frac{d}{dt}(1 + 2t + t^3) = 2 + 3t^2 \)

Ускорение точки — это первая производная от скорости (или вторая производная от закона движения) по времени:

\( a(t) = v'(t) = S''(t) \)

\( a(t) = \frac{d}{dt}(2 + 3t^2) = 6t \)

Найдем ускорение при \( t = 3 \):

\( a(3) = 6 \times 3 = 18 \)

Ответ: 1. Точка минимума: x = 0, y = 0. 2. Точка перегиба: x = -1, y = 2. 3. Наибольшее значение функции: 8. 4. Уравнение касательной: y = -2x + 2. 5. Ускорение: 18.