Вариант 2. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) проведена высота CD так, что длина отрезка BD на 4 см больше длины отрезка CD, AD = 9 см. Найдите стороны треугольника ABC. В каком отношении CD делит площадь треугольника ABC?

Краткая запись:

• Треугольник ABC, ∠C = 90°
• CD — высота
• BD = CD + 4 см
• AD = 9 см
• Найти: стороны треугольника (AC, BC, AB), отношение площадей (S_ACD / S_BCD) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим CD = x. Тогда BD = x + 4.
2. Шаг 2: По теореме о среднем геометрическом в прямоугольном треугольнике: \( CD^2 = AD · BD \).
   \( x^2 = 9 · (x+4) \)
   \( x^2 = 9x + 36 \)
   \( x^2 - 9x - 36 = 0 \)
   Решаем квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-9)^2 - 4 · 1 · (-36) = 81 + 144 = 225 \). \( √{D} = 15 \).
   \( x_1 = (9 + 15) / 2 = 24 / 2 = 12 \) см.
   \( x_2 = (9 - 15) / 2 = -6 / 2 = -3 \) (не подходит, так как длина не может быть отрицательной).
   Значит, CD = 12 см.
3. Шаг 3: Находим BD. BD = CD + 4 = 12 + 4 = 16 см.
4. Шаг 4: Находим стороны треугольника. Гипотенуза AB = AD + BD = 9 + 16 = 25 см.
   Катет AC: \( AC^2 = AD · AB = 9 · 25 = 225 \). \( AC = √{225} = 15 \) см.
   Катет BC: \( BC^2 = BD · AB = 16 · 25 = 400 \). \( BC = √{400} = 20 \) см.
5. Шаг 5: Находим отношение, в котором высота делит площадь. Высота CD делит треугольник ABC на два подобных прямоугольных треугольника: ADC и CDB.
   Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.
   Коэффициент подобия треугольника ADC к треугольнику CDB: \( k = AC / BC = 15 / 20 = 3 / 4 \).
   Отношение площадей \( S_{ADC} / S_{CDB} = k^2 = (3/4)^2 = 9/16 \).
   Или, можно найти площади напрямую:
   \( S_{ABC} = ½ · AC · BC = ½ · 15 · 20 = 150 \) см².
   \( S_{ADC} = ½ · AD · CD = ½ · 9 · 12 = 54 \) см².
   \( S_{CDB} = ½ · BD · CD = ½ · 16 · 12 = 96 \) см².
   Отношение площадей \( S_{ADC} : S_{CDB} = 54 : 96 \). Сокращаем на 6: \( 9 : 16 \).

Ответ: Стороны треугольника ABC равны AC = 15 см, BC = 20 см, AB = 25 см. Высота CD делит площадь треугольника ABC в отношении 9:16.