Вариант 2. Эллипс с полуосями, вокруг бальсност полусеиниси. Вычислите объем данного тела при полисици определенного интеграла. Уравнение эллипса: \( \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{49} = 1 \). Если \( b \) 6см и \( a \) 7см вращается

Решение:

Дан эллипс с полуосями \( a = 7 \) см и \( b = 6 \) см. Уравнение эллипса: \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \). В данном случае \( a = 7 \) и \( b = 6 \) (предполагая, что \( a \) — большая полуось, а \( b \) — меньшая, согласно стандартной записи уравнения).

Объем тела, полученного вращением эллипса вокруг оси:

• При вращении вокруг большой полуоси (ось Ox): \( V_x = \frac{4}{3}\pi a b^2 \)
• При вращении вокруг малой полуоси (ось Oy): \( V_y = \frac{4}{3}\pi a^2 b \)

В задании указано \( b = 6 \) см и \( a = 7 \) см. По контексту, \( a \) часто обозначает большую полуось, а \( b \) — меньшую, но в уравнении \( \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{49} = 1 \) у нас \( a^2 = 25 \) (т.е. \( a=5 \)) и \( b^2 = 49 \) (т.е. \( b=7 \)). Это означает, что большая полуось лежит вдоль оси Oy.

Если \( a \) - большая полуось, а \( b \) - малая, то \( a = 7 \) и \( b = 5 \) (или \( a = 5 \) и \( b = 7 \) в зависимости от оси).

Учитывая приведенное уравнение \( \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{49} = 1 \), где \( a^2 = 25 \) (полуось вдоль оси x) и \( b^2 = 49 \) (полуось вдоль оси y), имеем:

• Полуось вдоль оси x: \( a_x = \sqrt{25} = 5 \)
• Полуось вдоль оси y: \( a_y = \sqrt{49} = 7 \)

В тексте указано \( b = 6 \) см и \( a = 7 \) см. Это противоречит уравнению. Будем использовать значения из уравнения, так как оно четко задает эллипс.

Случай 1: Вращение вокруг оси Ox (где \( a_x = 5 \))

Объем тела вращения вокруг оси Ox: \( V_x = \frac{4}{3}\pi a_x a_y^2 = \frac{4}{3}\pi (5)(7^2) = \frac{4}{3}\pi (5)(49) = \frac{4}{3}\pi (245) = \frac{980}{3}\pi \) см³.

Случай 2: Вращение вокруг оси Oy (где \( a_y = 7 \))

Объем тела вращения вокруг оси Oy: \( V_y = \frac{4}{3}\pi a_x^2 a_y = \frac{4}{3}\pi (5^2)(7) = \frac{4}{3}\pi (25)(7) = \frac{4}{3}\pi (175) = \frac{700}{3}\pi \) см³.

В условии есть запись \( y = 25(1-\frac{x^2}{49}) \) и \( 1 = \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{?} \). Это указывает на то, что \( a = 5 \) (полуось по x) и \( b = 7 \) (полуось по y).

По формуле \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \), здесь \( a^2 = 25 \) (т.е. \( a = 5 \)) и \( b^2 = 49 \) (т.е. \( b = 7 \)).

В тексте есть фраза «если \( b \) 6см и \( a \) 7см вращается». Это противоречит уравнению эллипса. Будем считать, что \( a=5 \) и \( b=7 \) согласно уравнению.

При вращении вокруг большей оси (ось Oy, \( b=7 \)):

\( V = \frac{4}{3}\pi a^2 b = \frac{4}{3}\pi (5^2)(7) = \frac{4}{3}\pi (25)(7) = \frac{700}{3}\pi \) см³.

При вращении вокруг меньшей оси (ось Ox, \( a=5 \)):

\( V = \frac{4}{3}\pi a b^2 = \frac{4}{3}\pi (5)(7^2) = \frac{4}{3}\pi (5)(49) = \frac{980}{3}\pi \) см³.

Формула \( y=25(1-\frac{x^2}{49}) \) неверна для данного эллипса. Также \( y^2 = 49(1-\frac{x^2}{25}) \).

Ответ: Объем тела вращения вокруг оси Oy равен \( \frac{700}{3}\pi \) см³. Объем тела вращения вокруг оси Ox равен \( \frac{980}{3}\pi \) см³.