Вариант № 2. № 2 Решить уравнения: а) 5^{4-x}=25; б) log_7 (x+21)=2; г) 2sin^2x + 5 sin x - 3 = 0. № 3 Вычислить \( \int_0^6 (5x^4 - 8x^3) dx \). № 4 Вычислите угол между векторами \( \vec{a} = \left\{1; -1; 2\right\} \) и \( \vec{b} = \left\{-1; 1; 1\right\}. \) № 5 Ученику предложили написать на доске любое натуральное число от 100 до 200. Найдите вероятность того, что среди цифр этого числа есть 3. № 6 Составьте уравнение касательной к графику функции \( y = 2x^4 - x^2 + 4 \) в точке \( x_0 = -1 \). № 7 Тело движется по прямой со скоростью, определяемой формулой \( V = t^3 - 3t + 4 \) (м/с), где \( t \) — время в секундах. Какой путь пройдёт тело за 3 с от начала движения? № 8 В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см. Высота призмы равна 3 см. Найдите площадь полной поверхности призмы. 9 Найдите объём и площадь боковой поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8 см вокруг большего катета. Решите неравенство: \( log_{0,2} (3x - 5) \ge log_{0,2} (x + 1) \).

Решение:

№ 2. Уравнения:

а) \( 5^{4-x}=25 \)

1. Представим 25 как степень пятерки: \( 5^{4-x} = 5^2 \)
2. Приравняем показатели степеней: \( 4-x = 2 \)
3. Решим уравнение: \( x = 4 - 2 = 2 \)

б) \( log_7 (x+21)=2 \)

1. По определению логарифма: \( x+21 = 7^2 \)
2. Вычислим: \( x+21 = 49 \)
3. Решим уравнение: \( x = 49 - 21 = 28 \)

г) \( 2sin^2x + 5 sin x - 3 = 0 \)

1. Сделаем замену \( y = sin x \). Получим квадратное уравнение: \( 2y^2 + 5y - 3 = 0 \)
2. Найдём дискриминант: \( D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 \)
3. Найдём корни: \( y_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = 0.5 \)
4. \( y_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3 \)
5. Вернёмся к замене: \( sin x = 0.5 \) или \( sin x = -3 \).
6. \( sin x = -3 \) не имеет решений, так как \( -1 \le sin x \le 1 \).
7. Решим \( sin x = 0.5 \): \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) или \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

№ 3. Вычислить интеграл:

\( \int_0^6 (5x^4 - 8x^3) dx \)

1. Найдём первообразную: \( \int (5x^4 - 8x^3) dx = 5 \frac{x^5}{5} - 8 \frac{x^4}{4} = x^5 - 2x^4 \)
2. Вычислим определённый интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: \( [x^5 - 2x^4]_0^6 \)
3. Подставим верхний предел: \( 6^5 - 2 \cdot 6^4 = 7776 - 2 \cdot 1296 = 7776 - 2592 = 5184 \)
4. Подставим нижний предел: \( 0^5 - 2 \cdot 0^4 = 0 \)
5. Результат: \( 5184 - 0 = 5184 \)

№ 4. Угол между векторами:

Векторы \( \vec{a} = \left\{1; -1; 2\right\} \) и \( \vec{b} = \left\{-1; 1; 1\right\}. \)

1. Найдём скалярное произведение векторов: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 1 = -1 - 1 + 2 = 0 \)
2. Так как скалярное произведение равно 0, векторы перпендикулярны. Угол между ними равен 90 градусов или \( \frac{\pi}{2} \) радиан.

№ 5. Вероятность:

Числа от 100 до 200. Всего чисел: \( 200 - 100 + 1 = 101 \).

Числа, содержащие цифру 3:

• 103, 113, 123, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 143, 153, 163, 173, 183, 193.
• Всего таких чисел 19.

Вероятность = (Число благоприятных исходов) / (Общее число исходов) = \( \frac{19}{101} \).

№ 6. Уравнение касательной:

Функция \( y = 2x^4 - x^2 + 4 \), точка \( x_0 = -1 \).

1. Найдём значение функции в точке \( x_0 \): \( y_0 = 2(-1)^4 - (-1)^2 + 4 = 2(1) - 1 + 4 = 2 - 1 + 4 = 5 \). Точка касания: \( (-1, 5) \).
2. Найдём производную функции: \( y' = 8x^3 - 2x \)
3. Найдём значение производной в точке \( x_0 \): \( y'(-1) = 8(-1)^3 - 2(-1) = 8(-1) + 2 = -8 + 2 = -6 \). Это угловой коэффициент касательной.
4. Уравнение касательной: \( y - y_0 = k(x - x_0) \)
5. Подставим значения: \( y - 5 = -6(x - (-1)) \)
6. Упростим: \( y - 5 = -6(x + 1) \)
7. \( y - 5 = -6x - 6 \)
8. \( y = -6x - 6 + 5 \)
9. \( y = -6x - 1 \)

№ 7. Путь тела:

Скорость \( V = t^3 - 3t + 4 \) (м/с), время \( t \) от 0 до 3 с.

1. Путь \( S \) — это определённый интеграл от скорости по времени: \( S = \int_0^3 V dt = \int_0^3 (t^3 - 3t + 4) dt \)
2. Найдём первообразную: \( \int (t^3 - 3t + 4) dt = \frac{t^4}{4} - 3\frac{t^2}{2} + 4t \)
3. Вычислим определённый интеграл: \( \left[\frac{t^4}{4} - \frac{3t^2}{2} + 4t\right]_0^3 \)
4. Подставим верхний предел: \( \frac{3^4}{4} - \frac{3 \cdot 3^2}{2} + 4 \cdot 3 = \frac{81}{4} - \frac{27}{2} + 12 = 20.25 - 13.5 + 12 = 18.75 \)
5. Подставим нижний предел: \( 0 \)
6. Результат: \( 18.75 - 0 = 18.75 \) метров.

№ 8. Площадь полной поверхности призмы:

Основание — прямоугольный треугольник с катетами \( a = 5 \) см, \( b = 12 \) см. Высота призмы \( H = 3 \) см.

1. Найдём гипотенузу основания по теореме Пифагора: \( c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \) см.
2. Площадь основания: \( S_{осн} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30 \) см².
3. Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = P_{осн} \cdot H \), где \( P_{осн} \) — периметр основания.
4. Периметр основания: \( P_{осн} = a + b + c = 5 + 12 + 13 = 30 \) см.
5. \( S_{бок} = 30 \cdot 3 = 90 \) см².
6. Площадь полной поверхности: \( S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 30 + 90 = 60 + 90 = 150 \) см².

№ 9. Объём и площадь боковой поверхности тела вращения:

Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вращается вокруг большего катета (8 см).

При вращении образуется конус.

• Высота конуса \( h = 8 \) см (больший катет).
• Радиус основания конуса \( r = 6 \) см (меньший катет).
• Образующая конуса \( l \) — это гипотенуза треугольника: \( l = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \) см.

Объём конуса:

\( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 6^2 \cdot 8 = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 8 = \pi \cdot 12 \cdot 8 = 96\pi \) см³.

Площадь боковой поверхности конуса:

\( S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\pi \) см².

Решите неравенство:

\( log_{0,2} (3x - 5) \ge log_{0,2} (x + 1) \)

1. Область допустимых значений (ОДЗ):
• \( 3x - 5 > 0 \implies 3x > 5 \implies x > \frac{5}{3} \)
• \( x + 1 > 0 \implies x > -1 \)
• Объединяя условия, получаем: \( x > \frac{5}{3} \)
2. Так как основание логарифма \( 0.2 < 1 \), при снятии логарифма знак неравенства меняется на противоположный:
3. \( 3x - 5 \le x + 1 \)
4. \( 3x - x \le 1 + 5 \)
5. \( 2x \le 6 \)
6. \( x \le 3 \)
7. Учитывая ОДЗ \( x > \frac{5}{3} \) и полученное решение \( x \le 3 \), находим пересечение: \( \frac{5}{3} < x \le 3 \).

Ответ: № 2: а) \( x=2 \); б) \( x=28 \); г) \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \in Z \). № 3: 5184. № 4: 90°. № 5: \( \frac{19}{101} \). № 6: \( y = -6x - 1 \). № 7: 18.75 м. № 8: 150 см². № 9: \( V = 96\pi \) см³, \( S_{бок} = 60\pi \) см². Неравенство: \( \frac{5}{3} < x \le 3 \).