Вариант 2: 1. Решите систему уравнений: {3x-y=7, 2x+3y=1. 2. Велосипедист ехал 2 ч по лесной дороге и 1 ч по шоссе, всего он проехал 40 км. Скорость его на шоссе была на 4 км/ч больше, чем скорость на лесной дороге. С какой скоростью велосипедист ехал по шоссе и с какой по лесной дороге? 3. Решите систему уравнений: {2(3x-y)-5=2x-3y, 5-(x-2y)=4y+16. 4. Прямая y=kx+b проходит через точки А(5; 0) и В(-2; 21). Напишите уравнение этой прямой. 5. Выясните, имеет ли решения система и сколько: {5x-y=11, -10x+2y=-22.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

• 1. Решение системы уравнений:
  Исходная система:
  
  • 3x - y = 7
  • 2x + 3y = 1
  Из первого уравнения выразим y:
  
  • y = 3x - 7
  Подставим во второе уравнение:
  
  • 2x + 3(3x - 7) = 1
  • 2x + 9x - 21 = 1
  • 11x = 1 + 21
  • 11x = 22
  • x = 22 / 11 = 2
  Найдем y:
  
  • y = 3x - 7 = 3(2) - 7 = 6 - 7 = -1
  Ответ: x = 2, y = -1
• 2. Задача о велосипедисте:
  Пусть v_л - скорость на лесной дороге, v_ш - скорость на шоссе.
  Пусть t_л = 2 ч, t_ш = 1 ч.
  Расстояние по лесной дороге: S_л = v_л * t_л = 2 * v_л.
  Расстояние по шоссе: S_ш = v_ш * t_ш = 1 * v_ш = v_ш.
  Общее расстояние: S_л + S_ш = 40 км.
  2 * v_л + v_ш = 40.
  Скорость на шоссе на 4 км/ч больше, чем на лесной дороге: v_ш = v_л + 4.
  Подставим второе уравнение в первое:
  
  • 2 * v_л + (v_л + 4) = 40
  • 3 * v_л + 4 = 40
  • 3 * v_л = 40 - 4
  • 3 * v_л = 36
  • v_л = 36 / 3 = 12 км/ч
  Найдем v_ш:
  
  • v_ш = v_л + 4 = 12 + 4 = 16 км/ч
  Ответ: Скорость по лесной дороге - 12 км/ч, скорость по шоссе - 16 км/ч.
• 3. Решение системы уравнений:
  Исходная система:
  
  • 2(3x - y) - 5 = 2x - 3y
  • 5 - (x - 2y) = 4y + 16
  Упростим первое уравнение:
  
  • 6x - 2y - 5 = 2x - 3y
  • 6x - 2x - 2y + 3y = 5
  • 4x + y = 5
  Упростим второе уравнение:
  
  • 5 - x + 2y = 4y + 16
  • -x + 2y - 4y = 16 - 5
  • -x - 2y = 11
  • x + 2y = -11
  Теперь решаем систему:
  
  • 4x + y = 5
  • x + 2y = -11
  Из первого уравнения выразим y:
  
  • y = 5 - 4x
  Подставим во второе уравнение:
  
  • x + 2(5 - 4x) = -11
  • x + 10 - 8x = -11
  • -7x = -11 - 10
  • -7x = -21
  • x = -21 / -7 = 3
  Найдем y:
  
  • y = 5 - 4x = 5 - 4(3) = 5 - 12 = -7
  Ответ: x = 3, y = -7
• 4. Уравнение прямой:
  Прямая проходит через точки А(5; 0) и В(-2; 21).
  Уравнение прямой имеет вид y = kx + b.
  Найдем коэффициент k (угловой коэффициент):
  
  • k = (y2 - y1) / (x2 - x1)
  • k = (21 - 0) / (-2 - 5)
  • k = 21 / -7 = -3
  Теперь уравнение прямой: y = -3x + b.
  Подставим координаты точки А(5; 0) для нахождения b:
  
  • 0 = -3(5) + b
  • 0 = -15 + b
  • b = 15
  Ответ: y = -3x + 15
• 5. Исследование системы на наличие решений:
  Система уравнений:
  
  • 5x - y = 11
  • -10x + 2y = -22
  Чтобы выяснить, имеет ли система решение, сравним коэффициенты при x и y.
  Умножим первое уравнение на -2:
  
  • -2(5x - y) = -2(11)
  • -10x + 2y = -22
  Полученное уравнение совпадает со вторым уравнением системы.
  Это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Следовательно, система имеет бесконечное множество решений.
  Ответ: Система имеет бесконечное множество решений.