Вариант 2: 1. Дан прямоугольный треугольник А В С с катетами А В=16 см и В С=12 см (∠B =90°). Отрезок S С=20 см — перпендикуляр к плоскости А В С. а) Найдите |°C S+°S B+*В- А|; б) Найдите угол между прямой S А и плоскостью А В С. 2. В правильной четырехугольной пирамиде диагональ основания равна 4√3 см, а двугранный угол при основании равен 60°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. 3. Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1, проходящей через прямую АВ и середину ребра В1С1.

Вариант 2

1. а)

   Сначала найдём гипотенузу AC по теореме Пифагора: \( AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20 \) см.

   Теперь найдём длины отрезков SC, SB, SA:

   • SC = 20 см (дано).
   • SB = \( \sqrt{SC^2 + BC^2} = \sqrt{20^2 + 12^2} = \sqrt{400 + 144} = \sqrt{544} = \sqrt{16 \times 34} = 4\sqrt{34} \) см.
   • SA = \( \sqrt{SC^2 + AC^2} = \sqrt{20^2 + 20^2} = \sqrt{400 + 400} = \sqrt{800} = \sqrt{400 \times 2} = 20\sqrt{2} \) см.

   б)

   Угол между прямой SA и плоскостью ABC — это угол между SA и его проекцией на плоскость ABC, то есть между SA и AC. Угол ∠SAC.

   В треугольнике SAC (он прямоугольный, так как SC перпендикулярна плоскости ABC):

   \( \tan(\angle SAC) = \frac{SC}{AC} = \frac{20}{20} = 1 \)

   Следовательно, \( \angle SAC = 45^{\circ} \).

2. Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды равна \( d = 4\sqrt{3} \) см. Сторона основания \( a \) связана с диагональю как \( d = a\sqrt{2} \). Отсюда \( a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{6}}{2} = 2\sqrt{6} \) см.

   Апофема \( h \) — высота боковой грани. Двугранный угол при основании равен \( 60^{\circ} \). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой, высотой пирамиды и половиной стороны основания. В основании лежит квадрат, поэтому радиус равен \( \frac{a}{2} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6} \) см.

   \( \tan(60^{\circ}) = \frac{H}{\sqrt{6}} \), где \( H \) — высота пирамиды. \( H = \sqrt{6} \tan(60^{\circ}) = \sqrt{6} \times \sqrt{3} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \) см.

   Апофема \( h \) находится из прямоугольного треугольника с катетами \( \sqrt{6} \) см и \( H \) см. В этом треугольнике угол при основании равен \( 60^{\circ} \).

   \(
   \sin(60^{\circ}) =
   \frac{H}{h} \)

   \( h = \frac{H}{\sin(60^{\circ})} = \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{6}}{3} = 2\sqrt{6} \) см.

   Площадь основания: \( S_{осн} = a^2 = (2\sqrt{6})^2 = 4 \times 6 = 24 \) см².

   Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} h \), где \( P_{осн} \) — периметр основания. \( P_{осн} = 4a = 4 \times 2\sqrt{6} = 8\sqrt{6} \) см.

   \( S_{бок} = \frac{1}{2} \times 8\sqrt{6} \times 2\sqrt{6} = 8 \times 6 = 48 \) см².

   Площадь полной поверхности: \( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 24 + 48 = 72 \) см².

3. Сечение куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через прямую AB и середину ребра B1C1.

   Пусть K — середина ребра B1C1.

   Сечение будет плоскостью ABK.

   Для построения:

   1. Отметьте прямую AB.
   2. Отметьте середину ребра B1C1 (точка K).
   3. Проведите прямую BK.
   4. Проведите прямую AK.
   5. Сечение — это прямоугольник ABCK', где K' — точка на C1D1, такая что AB || K'C. В данном случае K — середина B1C1, поэтому AK будет не перпендикулярно AB.
   6. Сечение — это параллелограмм ABK_1K, где K1 — точка на C1D1.
   7. Построение:
   • Прямая AB является одной из граней сечения.
   • Точка K — середина B1C1.
   • Соедините A с K.
   • Соедините B с K.
   • Плоскость ABK является сечением.
   • Так как AB параллельна C1D1, и K лежит на B1C1, то если мы проведем прямую через A параллельно BK, она попадет на C1D1.
   • Сечение — это трапеция ABK_1K, где K1 — точка на C1D1.
   • В кубе ABCD A1B1C1D1, AB || C1D1. K — середина B1C1.
   • Проведем через K прямую, параллельную AB. Она пересечет C1D1 в точке K1 (середина C1D1).
   • Сечение — это прямоугольник ABK1K.
   8. Сечение — прямоугольник ABK1K, где K — середина B1C1, K1 — середина C1D1.

   Ответ: а) SC=20 см, SB=4√34 см, SA=20√2 см; б) 45°.

   Ответ: 72 см².

   Ответ: Сечение — прямоугольник ABK1K, где K — середина B1C1, K1 — середина C1D1.