Вариант 152. Эллипс с полуосями вращается вокруг большой оси. Вычислите объём данного тела при помощи определённого интеграла. Уравнение эллипса: y^2 = 25(1 - x^2/49). Объём тела вращения

Решение:

Для вычисления объёма тела вращения эллипса вокруг большой оси, мы используем формулу:

\[ V = \pi \int_{a}^{b} y^2 dx \]

Уравнение эллипса дано как \( y^2 = 25(1 - \frac{x^2}{49}) \). Большая ось эллипса соответствует оси X. Пределы интегрирования \( a \) и \( b \) — это крайние точки эллипса по оси X. Чтобы найти их, приравняем \( y^2 \) к нулю:

\[ 25(1 - \frac{x^2}{49}) = 0 \]

\[ 1 - \frac{x^2}{49} = 0 \]

\[ \frac{x^2}{49} = 1 \]

\[ x^2 = 49 \]

\[ x = \pm 7 \]

Таким образом, пределы интегрирования от -7 до 7.

Подставляем \( y^2 \) в формулу объёма:

\[ V = \pi \int_{-7}^{7} 25(1 - \frac{x^2}{49}) dx \]

Вынесем константу 25:

\[ V = 25\pi \int_{-7}^{7} (1 - \frac{x^2}{49}) dx \]

Интегрируем выражение:

\[ \int (1 - \frac{x^2}{49}) dx = x - \frac{x^3}{49 \cdot 3} = x - \frac{x^3}{147} \]

Теперь применяем пределы интегрирования:

\[ V = 25\pi \left[ x - \frac{x^3}{147} \right]_{-7}^{7} \]

\[ V = 25\pi \left( (7 - \frac{7^3}{147}) - (-7 - \frac{(-7)^3}{147}) \right) \]

\[ V = 25\pi \left( (7 - \frac{343}{147}) - (-7 - \frac{-343}{147}) \right) \]

\[ V = 25\pi \left( (7 - \frac{7}{3}) - (-7 + \frac{7}{3}) \right) \]

\[ V = 25\pi \left( 7 - \frac{7}{3} + 7 - \frac{7}{3} \right) \]

\[ V = 25\pi \left( 14 - \frac{14}{3} \right) \]

\[ V = 25\pi \left( \frac{42 - 14}{3} \right) \]

\[ V = 25\pi \left( \frac{28}{3} \right) \]

\[ V = \frac{700\pi}{3} \]

Ответ: Объём тела вращения равен \( \frac{700\pi}{3} \).