Вариант - 13 № 1. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 12 см, высота - 8 см. Найдите площади боковой и полной поверхностей пирамиды. № 2. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 15 см, радиус окружности, описанной около основания равен 8√2 см. Найдите площади боковой и полной поверхностей пирамиды.

Решение:

Задача №1

Дано:

• Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды: \( a = 12 \) см
• Высота пирамиды: \( h = 8 \) см

Найти:

• Площадь боковой поверхности \( S_{бок} \)
• Площадь полной поверхности \( S_{полн} \)

1. Найдём апофему \( l \):

Для правильной четырехугольной пирамиды радиус вписанной окружности в основание равен половине стороны основания: \( r = \frac{a}{2} = \frac{12}{2} = 6 \) см.

Апофема — это высота боковой грани. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, радиусом вписанной окружности и апофемой, апофема является гипотенузой.

По теореме Пифагора: \( l^2 = h^2 + r^2 \)

\[ l = \(\sqrt{h^2 + r^2}\) = \(\sqrt{8^2 + 6^2}\) = \(\sqrt{64 + 36}\) = \(\sqrt{100}\) = 10 \) см

2. Найдём площадь боковой поверхности \( S_{бок} \):

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему: \( S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l \)

Периметр основания \( P = 4a = 4 \cdot 12 = 48 \) см.

\[ S_{бок} = \(\frac{1}{2}\) \(\cdot\) 48 \(\cdot\) 10 = 24 \(\cdot\) 10 = 240 \) см²

3. Найдём площадь основания \( S_{осн} \):

Основание — квадрат со стороной \( a \).

\[ S_{осн} = a^2 = 12^2 = 144 \) см²

4. Найдём площадь полной поверхности \( S_{полн} \):

\[ S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = 240 + 144 = 384 \) см²

Ответ: Площадь боковой поверхности пирамиды равна 240 см², площадь полной поверхности — 384 см².

Задача №2

Дано:

• Высота правильной четырехугольной пирамиды: \( h = 15 \) см
• Радиус описанной окружности около основания: \( R = 8\sqrt{2} \) см

Найти:

• Площадь боковой поверхности \( S_{бок} \)
• Площадь полной поверхности \( S_{полн} \)

1. Найдём сторону основания \( a \):

Для правильного четырехугольника (квадрата) радиус описанной окружности связан со стороной формулой: \( R = \frac{a}{\sqrt{2}} \).

Отсюда, \( a = R\sqrt{2} \).

\[ a = \(8\sqrt{2}\) \(\cdot\) \(\sqrt{2}\) = 8 \(\cdot\) 2 = 16 \) см

2. Найдём апофему \( l \):

Радиус вписанной окружности в основание (квадрат) равен половине стороны: \( r = \frac{a}{2} = \frac{16}{2} = 8 \) см.

Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды, радиусом вписанной окружности и апофемой: \( l^2 = h^2 + r^2 \)

\[ l = \(\sqrt{h^2 + r^2}\) = \(\sqrt{15^2 + 8^2}\) = \(\sqrt{225 + 64}\) = \(\sqrt{289}\) = 17 \) см

3. Найдём площадь боковой поверхности \( S_{бок} \):

Периметр основания \( P = 4a = 4 \cdot 16 = 64 \) см.

\[ S_{бок} = \(\frac{1}{2}\) P \(\cdot\) l = \(\frac{1}{2}\) \(\cdot\) 64 \(\cdot\) 17 = 32 \(\cdot\) 17 = 544 \) см²

4. Найдём площадь основания \( S_{осн} \):

\[ S_{осн} = a^2 = 16^2 = 256 \) см²

5. Найдём площадь полной поверхности \( S_{полн} \):

\[ S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = 544 + 256 = 800 \) см²

Ответ: Площадь боковой поверхности пирамиды равна 544 см², площадь полной поверхности — 800 см².