Вариант 1 1. АВ и АС - отрезки касательных, проведенные к окружности радиусом 9 см. Найдите длины отрезков АС и АО, если АВ = 12 см. 2. Дано: ∠АВ : ∠BC = 11 : 12 (рис. 8.178). Найти: ∠BCA, ∠BAC. 3. Хорды MN и PK пересекаются в точке Е так, что МЕ = 12 см, NE = 3 см, PE = KE. Найдите PK. 4*. Окружность с центром О и радиусом 16 см описана около треугольника АВС так, что ∠OAB = 30°, ∠OCB = 45°. Найдите стороны АВ и ВС треугольника.

Вариант 1

1.

Так как АВ и АС — отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки А, то АВ = АС. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, ∠ABO = 90°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВО. По теореме Пифагора:

\( AO^2 = AB^2 + BO^2 \)

\( AO^2 = 12^2 + 9^2 \)

\( AO^2 = 144 + 81 \)

\( AO^2 = 225 \)

\( AO = \sqrt{225} = 15 \) см.

Так как АВ = АС, то АС = 12 см.

Ответ: АС = 12 см, АО = 15 см.

2.

Дано: \( \angle OAB : \angle OBC = 11 : 12 \) (рис. 8.178).

Найти: \( \angle BCA, \angle BAC \).

Примечание: В задании указано \( \angle OAB \) и \( \angle OBC \), что не соответствует изображениям на рис. 8.178, где указаны \( \angle ABC \) и \( \angle BAC \). Будем исходить из изображений на рис. 8.178.

Из рис. 8.178:

\( \angle ABC : \angle BAC = 11 : 12 \)

Пусть \( \angle ABC = 11x \) и \( \angle BAC = 12x \).

Сумма углов треугольника равна 180°:

\( \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180° \)

\( 12x + 11x + \angle BCA = 180° \)

\( 23x + \angle BCA = 180° \)

Из рисунка видно, что \( \angle BOC = 130° \). Угол \( \angle BOC \) является центральным углом, опирающимся на дугу BC. Угол \( \angle BAC \) — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу BC. Следовательно:

\( \angle BOC = 2 \cdot \angle BAC \)

\( 130° = 2 \cdot \angle BAC \)

\( \angle BAC = 130° / 2 = 65° \).

Теперь найдем \( x \):

\( 12x = 65° \)

\( x = \frac{65}{12} \).

Найдем \( \angle ABC \):

\( \angle ABC = 11x = 11 \cdot \frac{65}{12} = \frac{715}{12} ≈ 59.58° \).

Теперь найдем \( \angle BCA \):

\( \angle BCA = 180° - \angle BAC - \angle ABC \)

\( \angle BCA = 180° - 65° - \frac{715}{12}° \)

\( \angle BCA = 115° - \frac{715}{12}° \)

\( \angle BCA = \frac{115 \cdot 12 - 715}{12} = \frac{1380 - 715}{12} = \frac{665}{12} ≈ 55.42° \).

Ответ: \( \angle BCA = \frac{665}{12}° \), \( \angle BAC = 65° \).

3.

Хорды MN и PK пересекаются в точке E. По свойству пересекающихся хорд:

\( ME · NE = PE · KE \)

Дано: ME = 12 см, NE = 3 см, PE = KE.

Подставим известные значения:

\( 12 · 3 = PE · PE \)

\( 36 = PE^2 \)

\( PE = \sqrt{36} = 6 \) см.

Так как PE = KE, то KE = 6 см.

Длина хорды PK равна сумме отрезков PE и KE:

\( PK = PE + KE = 6 + 6 = 12 \) см.

Ответ: PK = 12 см.

4*.

Окружность с центром О и радиусом R = 16 см описана около треугольника АВС.

Дано: \( \angle OAB = 30° \), \( \angle OCB = 45° \).

Найти стороны АВ и ВС.

Так как ОА, OB, OC — радиусы окружности, то \( OA = OB = OC = R = 16 \) см.

Рассмотрим треугольник OAB. Он равнобедренный, так как OA = OB = 16 см.

\( \angle OBA = \angle OAB = 30° \).

\( \angle AOB = 180° - (\angle OAB + \angle OBA) = 180° - (30° + 30°) = 180° - 60° = 120° \).

По теореме косинусов в треугольнике OAB:

\( AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 · OA · OB · \cos(\angle AOB) \)

\( AB^2 = 16^2 + 16^2 - 2 · 16 · 16 · \cos(120°) \)

\( AB^2 = 256 + 256 - 2 · 256 · (-\frac{1}{2}) \)

\( AB^2 = 512 + 256 = 768 \)

\( AB = \sqrt{768} = \sqrt{256 · 3} = 16 · \sqrt{3} \) см.

Рассмотрим треугольник OCB. Он равнобедренный, так как OC = OB = 16 см.

\( \angle OBC = \angle OCB = 45° \).

\( \angle COB = 180° - (\angle OCB + \angle OBC) = 180° - (45° + 45°) = 180° - 90° = 90° \).

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике OCB:

\( BC^2 = OC^2 + OB^2 \)

\( BC^2 = 16^2 + 16^2 \)

\( BC^2 = 256 + 256 = 512 \)

\( BC = \sqrt{512} = \sqrt{256 · 2} = 16 · \sqrt{2} \) см.

Ответ: AB = \( 16 · \sqrt{3} \) см, BC = \( 16 · \sqrt{2} \) см.