Вариант 1, Задание 2. Дано: AB и AC - касательные. Доказать: AO - биссектриса угла BAC.

Решение:

Рассмотрим треугольники \( \triangle ABO \) и \( \triangle ACO \).

1. \( OB = OC \) — как радиусы окружности.

2. \( OA \) — общая сторона для обоих треугольников.

3. \( \angle OBA = \angle OCA = 90^{\circ} \) — так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

По признаку прямоугольного треугольника (гипотенуза и катет), \( \triangle ABO = \triangle ACO \).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:

\( \angle BAO = \angle CAO \).

Это означает, что отрезок \( AO \) делит угол \( \angle BAC \) на два равных угла.

Следовательно, \( AO \) является биссектрисой угла \( \angle BAC \).

Доказано.